随着我国铁路的飞速发展，动车、客车、机车的开行数量、速度和载荷都迅速增加，对列车车轮的品质和质量状态提出了更高的要求。若不及时准确发现列车车轮问题，将给铁路运营带来安全隐患，给国家财产带来巨大损失^[1]。因而，准确地预测列车轮对磨耗量，进行镟修判断，优化列车轮对镟修策略，对我国列车维修和铁路安全具有重要意义^[2]。

列车轮对作为列车安全行走的关键部件，一直是国内外学者的研究热点^[3]。Pradhan S等人研究了印度铁路存在的轮对磨耗问题，并做出预测，但没有提出使用数理统计处理数据^[4]；Pascual等人通过对随机抽样的1000多个美国在役列车车轮磨耗进行统计分析，发现轮缘厚度与轮缘磨损的速率成正比^[5]；王凌等人通过追踪轮对和镟修成本，研究列车运行成本以月为单位的计算方式，完善了经济镟修策略的评价手段^[6]；杨志采用数理统计的方式，建立了轮径的正态模型，利用蒙特卡罗方法生成随机的轮径月磨耗量，仿真出镟修策略的生命周期和镟修次数^[7]；徐文文^[8]等人研究了地铁受电弓滑板的磨耗趋势并进行有效预测，节约了地铁的运营和维修成本，为动车的经济镟修提供了新的研究思路。

需要指出，数理统计模型的拟合度对于镟修策略仿真的正确性至关重要^[9]。拟合度越低，数理统计的轮径模型与实际磨耗值偏差越大。在蒙特卡罗仿真中，使用轮径模型来随机生成当月的磨耗仿真值，随着仿真进行，轮对运用月数越多，离正确的镟修策略偏离越大。为解决上述问题，本文提出一种优化的分布拟合模型来分析经济镟修策略。

1   方法概述

1.1   蒙特卡罗仿真

本文利用蒙特卡罗仿真方法，模拟动车在真实运行周期中轮对每月的磨耗，从而计算得到该轮对的生命周期以及镟修次数。

蒙特卡罗仿真是指，当所求问题建立在某随机数列之上，或和随机数列相关时，可采用拟合分布生成伪随机数列的方式来模拟实际情况^[9]。其仿真的主要过程包括3部分：（1）构造或描述概率过程；（2）实现从已知概率分布抽样；（3）建立各种估计量。

1.2   拟合结果评价指标

为准确评价模型的拟合程度，本文选择相关性系数（R）、均方误差（MSE，Mean Squared Error）、平均绝对误差（MAE，Mean Absolute Error）、平均绝对百分误差（MAPE，Mean Absolute Percentage Error）、方差（SSE，The Sum of Squares due to Error）作为衡量预测结果精度的标准。具体计算公式如下：

式中，E_R为相关性系数；E_MSE为均方误差；E_MAE为平均绝对误差；E_MAPE为绝对百分误差；E_SSE为方差，${Y_i}$为真实值；${\hat Y_i}$为模型预测值；$\overline y $和$\overline {{{\hat Y}_i}} $分别是真实值和模型预测值的平均值；w_i为各项数据权重；n为预测样本数。MSE、MAE及MAPE值越小，表示模型拟合精度越高；R值越接近1，表示模型拟合精度越高。

2   建立轮对磨耗模型

2.1   轮缘厚度磨耗建模

为制定更合理的轮对镟修策略，本文根据轮对磨耗的历史数据研究轮对的磨耗规律。使用SPSS软件分析得到轮对磨耗数据之间的皮尔森相关性，其中，轮缘厚度和轮缘厚度磨耗速率的皮尔森相关系数为−0.2932，认为两者是相关的；轮径和轮径磨耗速率的皮尔森相关系数为−0.0932，则认为两者是独立的，因此使用轮缘厚度和轮缘厚度磨耗速率建立模型。

本文使用CRH2A型动车组于2017年 — 2019年8个轮对的轮缘厚度数据作为样本数据，建立磨耗模型，该车轮轮缘厚度的下限为26 mm，上限为32.9 mm。测得的数据中轮缘厚度分布区间为27.5 ~ 31.3 mm，主要集中在28 ~ 30.5 mm区间，如图1所示。

图  1  CRH2A型动车轮对轮缘厚度分布

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每间隔5天轮缘厚度磨耗率 V_Sd 的计算公式为：

式中，t_i+1和t_i表示测量出该轮缘厚度数据的日期，t_i+1−t_i表示相隔的天数；Sd_i+1和Sd_i分别为不包含镟轮情况下 t_i+1和t_i日期的轮缘厚度测量值。

将轮缘厚度和轮缘厚度磨耗率的计算数据进行拟合，结果如图2所示。

图  2  轮缘厚度和轮缘厚度磨耗率之间关系的拟合结果

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纵坐标为每5天的轮缘磨耗率，横坐标为27.5 ~ 33.1 mm范围内，每间隔0.1 mm的轮缘厚度。拟合结果中，E_SSE = 0.02587，E_RMSE = 0.02189。SSE和RMSE值越接近0，说明该拟合结果解释数据的能力越强。

2.2   轮径磨耗建模

根据CRH2A型动车组 2017 — 2019年的数据，统计出每间隔30天轮径的磨耗量，数据表明该动车每30天的轮径磨耗量基本处于区间（−2 mm，5 mm）中。将磨耗量以间隔0.5 mm 划分为15个区间，得到图3所示的统计直方图。从图中可以看出，磨耗区间（0.5 mm，1 mm）和（1 mm，1.5 mm）所占的频数最高，轮径月磨耗量以1 mm为中心，向两侧延伸，频数呈逐渐减小的趋势。

图  3  轮径月磨耗量统计直方图

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为得出该统计适合哪种分布，文本使用Matlab作为拟合工具，先后采用了Logistic分布、正态分布、Gamma分布、Weibull分布进行拟合，拟合参数和结果如图4所示。

图  4  4种分布拟合的参数和结果

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Logistic分布概率密度函数为：

式中，$\sigma =0.787\;\; ;\;\;\mu =0.901$。

正态分布概率密度函数为：

式中，$\sigma =1.361\;\;;\;\;\mu =0.929 1$。

Gamma分布概率密度函数为：

式中，$\alpha =7.627\;\;;\;\;\lambda = \dfrac{{\rm{1}}}{\beta }\;\;;\;\beta =0.515$。

Weibull分布概率密度函数为：

式中，$\alpha =4.393\;\;;\;\;\beta =3.154$。

4种分布拟合与实际数据统计直方图的对比如图5所示。

图  5  4种分布拟合与实际数据对比

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图中，Logistic分布在高频部分存在错峰描述的误差；正态分布对高频和低频的统计都比较契合；Gamma分布对高频部分的描述存在错峰的误差；Weibull分布拟合整体比原数据偏低。结合表1的卡方拟合优度检验（X²）来对比，Logistic分布和Gamma分布的X²值明显高于Weibull分布和正态分布，表明预测结果与实际值相差较大，因此舍弃使用Logistic分布和Gamma分布。计算轮径月磨耗量位于0 ~ 5 mm的概率，Weibull分布和正态分布分别为0.723和0.781。综上，本文选用正态分布作为轮径的统计模型。

表  1  4种分布拟合的参数对比

分布类型	对数似然函数值	X2
Logistic分布	−1243.57	52
正态分布	−1231.39	18
Gamma分布	−1230.89	103
Weibull分布	−1223.94	32

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2.3   镟修策略蒙特卡罗仿真

本文在建立轮缘厚度磨耗模型和轮径数理统计模型基础上，基于Matlab，采用蒙特卡罗方法仿真动车轮对在运行中的实际情况，并得到对应的镟修策略结果。设轮缘厚度的上、下限分别为SH和SL，每一对车轮的轮缘厚度上下限可仿真出一组镟修方案，及相应的生命周期和镟修次数。将CRH2A轮缘厚度的上下限区间 (26 mm , 32.9 mm) 以0.3 mm为间隔取值，从而得到上下限组合。为避免出现上限太低的无意义镟修方案，本文上限取值区间为 (29.9 mm , 32.9 mm) ，下限取值区间为 (26 mm , 29 mm) ，总计可以得到121种镟修策略，仿真流程如图6所示。

图  6  蒙特卡罗仿真流程

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（1）设定仿真初始化参数，轮径的上限值$D\left(0\right)=860\;{\rm{mm}}$，轮缘厚度$Sd\left(0\right)=32.9\;{\rm{mm}}$，两次镟修的间隔时间 $ t=0 $，使用寿命 $ T=0 $，镟修次数 $ N=0 $。此处分别导入121组镟修策略的上下限；

（2）累计该组镟修策略的生命周期 $ t=t+1 $；

（3）根据轮缘厚度的模型计算出轮缘厚度一个月的磨耗量$ \Delta Sd $，从而得到当前轮缘厚度值$ Sd\left(T+t+1\right)=Sd\left(T+t\right)-\Delta Sd $；同时，根据轮径的数理统计模型，生成当月的轮径磨耗量，得到磨耗一个月之后的轮径值 $ D\left(T+t+1\right)=D\left(T+t\right)-\Delta D $；

（4）将当前轮径值$ D(T+t+1) $与轮径下限790 mm比较，如果低于790 mm，输出一组镟修策略的结果，镟修策略的生命周期$ Tend=T+t $，镟修次数$ Nend=N $；如果高于790 mm，判断轮缘厚度当前值$ Sd(T+t+1) $ 是否低于${\rm{SL}}$，如果 $ Sd(T+t+1) $ 高于 SL，回到循环继续仿真；

（5）如果$ Sd(T+t+1) $低于SL，在此处进行一次镟修，根据镟修比例系数减少轮径值：$ D\left(T+t\right)=D\left(T+t+1\right)-k(SH-SL) $，镟修次数 $ N=N+1 $。将本次镟修之前的轮对时间存储起来$ T=T+t $，并且重置参数：$t=0\;\;,\;\;Sd\left(T+t\right)={\rm{SH}}$。

以当前采用的固定镟修模式作为对照，从所有的镟修策略中，选出最优的4组方案 。根据目前列车运行和镟修动作的经济成本，对比得到最优的镟修策略。

3   实验结果

本文仿真结果如图7所示，121种镟修策略的镟修次数集中在10次上下，轮对的预期使用寿命集中在65 ~ 70个月。目前，单轮镟修一次的成本X_N为300元，更换单轮的成本D为80000元，每月的单轮运行成本为 ${{y}} = \dfrac{{{X_N}\cdot {{N}} + {{D}}}}{{{T}}}$^[10]。

图  7  仿真结果

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通过计算和对比，选出4组较优策略。如表2所示，第1行为当前镟修策略，其余4行为仿真得出的4组较优策略，其中，镟修组合（28.1，31.7）是月经济成本最低的一组，轮对的生命周期也最长，因此是经济效果最好的。

表  2  镟修策略对比

镟修组合/mm	镟修次数	生命周期/月	单轮经济成本/（元/月）
（28.0，32.9）	12	60	1393.3
（28.1，31.7）	9	75	184
（27.5，31.4）	10	72	194
（28.7，31.7）	9	72	191
（28.4，31.4）	8	73	186

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4   结束语

本文基于轮对磨耗数据，研究了一种能提高CRH2A型动车轮对生命周期的镟修策略。在动车轮对两个重要数据轮径和轮缘厚度中寻找规律并建立模型，采用蒙特卡罗仿真方法，得出CRH2A型动车组采用不同镟修策略的实际经济效果。结果表明，通过仿真得到的镟修策略中存在生命周期更长，镟修次数更合理的方案。相较于目前的镟修策略，动车轮对运营的经济性得到提高。采用经济成本衡量的方式，可直观得出不同镟修策略的优劣，以便做出更好的决策。