Prediction of remaining service life of train control center based on hyper-ellipsoidal Markov
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摘要: 为研究设备可用度对列车控制中心（TCC，Train Control Center）的影响和预测TCC的剩余使用寿命（RUL ，Remaining Useful Life），降低TCC的故障发生率，确保车辆安全运行，构建TCC动态故障树模型。通过引入Markov理论，将其转化为Markov模型，设计了TCC可用度评估与RUL预测方法；考虑了TCC的失效率和共因失效，利用D-S（Dempster-Shafer）证据理论对失效数据作数据融合处理，得到TCC设备初始故障区间概率；在此基础上，采用超椭球模型约束设备初始故障区间概率，得到更加精确的底事件故障区间概率；画出Markov状态转移图，用矩阵推导出TCC可用度和RUL的函数关系式，且对可用度的计算还考虑了维修因素。以兰州—乌鲁木齐客运专线某TCC数据作为分析案例，用该方法计算TCC及其各设备的可用度，并预测TCC的RUL。结果表明：与通用方法相比，评估结果相同，但评估信息更丰富。Abstract: To study the impact of equipment availability on Train Control Center (TCC) and predict the Remaining Useful Life (RUL) of TCC, reduce the occurrence rate of TCC failures, and ensure safe vehicle operation, this paper constructed a TCC dynamic fault tree model. By introducing Markov theory and transforming it into a Markov model, the paper designed a TCC availability evaluation and RUL prediction method, considered the failure rate and common cause failure of TCC, used the D-S (Dempster Shafer) evidence theory to fuse the failure data and obtain the initial failure interval probability of TCC equipment. On this basis, the paper used a hyper-ellipsoid model to constrain the initial failure interval probability of the equipment and obtain a more accurate probability of the bottom event failure interval, drew a Markov state transition diagram, derived the functional relationship between TCC availability and RUL using a matrix, and also considered maintenance factors while calculating availability. The paper took the data of a certain TCC on the Lanzhou-Urumqi passenger dedicated line as an analysis case, used this method to calculate the availability of TCC and its various equipment, and predicted the RUL of TCC. The results show that compared with general methods, this method has the same evaluation results, but richer evaluation information.
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近年来，我国铁路发展迅猛，截至2022年底，全国铁路营业里程达15.5万km[1]。列车控制中心（TCC ，Train Control Center）作为我国列车运行控制系统的重要组成部分，一旦发生故障，会威胁乘客的生命安全，并易造成较大经济损失。因此，众多学者研究如何对TCC进行可用性评估和剩余使用寿命（RUL ，Remaining Useful Life）预测，从而有效预防其故障的发生[2]。交通机电设备工作状态下RUL预测方法主要分为基于性能退化数据的RUL预测和基于失效时间数据的RUL预测[3]。
基于性能退化数据的RUL预测：张正新等人[4]研究了设备性能变化与多个时间尺度的关系，基于Wiener过程提出了双时间尺度下的RUL预测方法；张继冬等人[5]通过优化卷积层神经网络，提高了轴承的RUL预测精度；王玺等人[3]在状态空间模型的框架下建立退化模型，利用Kalman滤波技术，得到RUL分布的解析解；在此基础上，徐洲常等人[6]通过主成分分析法，用归一化综合指标来表征轴承运行状态，采用支持向量机预测轴承RUL；为剔除空采数据和强干扰数据，王彪等人[7]采用动态多重聚合方法预测城轨列车轴箱轴承RUL，但在设备运行初期或其性能测试较困难时，测试得到的同类设备的性能退化数据较少，因此该方法不适用。
基于失效时间数据的RUL预测：此类方法通常先假设设备寿命分布，再利用统计推断进行设备的RUL预测。Marshall等人[8]总结了常用寿命分布函数及相应分布函数的参数估计方法；Sikorska等人[9]综述了RUL预测方法在机器设备中的应用；Park等人[10]通过加速寿命试验，在较短时间内获取某铁路车辆接触器失效时间数据，快速评估接触器的RUL；朱涛等人[11]假设车钩退化数据的分布，对裂纹尺寸数据进行拟合，并结合断裂力学理论，预测车钩的RUL。但上述文献不能实时反映设备的RUL分布，且数据拟合方法存在一定的误差，寿命预测结果难以精确描述，也未考虑TCC的设备维修问题。
针对上述预测方法的不足，本文提出基于超椭球Markov的RUL预测方法，在分析TCC结构的基础上构建动态故障树模型，并转化为Markov模型求解。针对TCC的设备在运营维护中的失效概率难以精确描述的问题，提出将超椭球模型与Markov结合的方法：先用证据理论，获取部件初始故障区间概率；再用超椭球模型约束，得到Markov模型的底事件区间概率。考虑到TCC各设备的独立失效率、共因失效率和维修率，求解可用度函数、可靠度和不可靠度分布函数，实现对TCC的RUL预测。
1 TCC动态故障树模型
1.1 TCC配置
TCC的组成和配置见文献[12]，根据车站类型，TCC可分为车站TCC和中继站TCC。以车站TCC为例，其接口配置如图1所示。
1.2 TCC动态故障树模型建立
TCC动态故障树模型如图2所示。假设TCC各设备状态相互独立，且设备失效率均服从指数分布；设备在维修后状态如新。TCC故障为动态故障树的顶事件，主/备设备故障为底事件，通过热备门连接。由兰州—乌鲁木齐客运专线（简称：兰新客专）2018年全年CTCS-2级列车控制系统的TCC现场维护数据得到设备失效率和维修率，如表1所示[13]，设备维修均采用更换的方式，更换时间平均为0.5 h，即维修率为2。
表 1 设备失效率和维修率设备 独立失效率$ {\lambda _1} $/（次·h−1） 共因失效率$ {\lambda _2} $/（次·h−1） 维修率$ \mu $ SCU $ 1.26 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 3.90 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 PIO $ 2.28 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 1.46 \times {10^{{{ - 6}}}} $ 2 DY $ 1.59 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 1.77 \times {10^{{{ - 6}}}} $ 2 CI-TC $ 1.20 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 1.04 \times {10^{{{ - 6}}}} $ 2 CI-GS $ 3.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 1.98 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-LEU $ 9.20 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 4.84 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-CBI $ 2.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 2.33 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-TSRS $ 2.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 1.58 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-ADTCC $ 2.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 1.11 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 2 故障区间获取
2.1 底事件故障区间获取
故障树法较为成熟，但在工程实际中，很难获得充足且可信度高的数据[14]。采用D-S（Dempster-Shafer）证据理论[15]，可获取可信度高的输入数据，为故障树分析奠定数据基础。本文采用D-S证据理论计算底事件故障区间。
D-S证据理论需要先定义辨识框架
$ \Theta $ ，该框架由完备且互不相容的元素组成，记$ A $ 为辨识框架$ \Theta $ 的任一子集。第$ i $ 个证据的基本信任分配函数为：$ {m_i} : {2^\Theta } \to [0,1] $ 。$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\sum\limits_{A \subseteq \Theta } {{m_i}(A) = 1} } \\ {{m_i}(\phi ) = 0} \end{array}} \right. $$ (1) 式（1）中，
$ \phi $ 表示空集。$ {m_i} $ 和$ {m_k} $ 的证据组合公式为$$ {m_i} \oplus {m_k}(A{\text{) = }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0{\text{ }},{\text{ }}A{\text{ = }}\phi } \\ {\dfrac{1}{{1 - k}}\displaystyle\sum\limits_{B \cap C = A} {{m_i}(B){m_k}(C){\text{ }},{\text{ }}A \ne \phi } } \end{array}} \right. $$ (2) 式（2）中，
$ B\subseteq\Theta；C\subseteq\Theta $ $ k $ 为归一化常数，$ k =\displaystyle \sum\limits_{B \cap C = \phi } {{m_i}(B){m_k}(C){\text{ }}} $ 。$ A $ 的信任函数Bel(A)和似然函数Pl(A)为$$ \begin{array}{*{20}{c}} {Bel(A) =\displaystyle \sum\limits_{X \subset A} {m(X)} } \\ {Pl(A) = 1 - Bel(A) =\displaystyle \sum\limits_{X \cap A \ne \phi } {m(X)} } \end{array} $$ (3) 用信任区间
$ [Bel(A){\text{ }},{\text{ }}Pl(A)] $ 来描述$ A $ 的不确定性，得到故障树底事件初始故障区间概率。D-S证据理论获取的各设备故障区间概率如表2所示。表 2 D-S证据理论获取的设备故障区间概率设备 证据区间概率 /×10−5 SCU [1.225, 2.967] PIO [2.256, 3.998] DY [1.225, 2.967] CI-TC [1.592, 3.334] CI-GS [0.303, 2.045] CI-LEU [0.899, 2.641] CI-CBI [0.207, 1.949] CI-TSRS [0.205, 1.948] CI-ADTCC [0.204, 1.947] 2.2 超椭球模型
D-S证据理论无法解决证据的严重冲突和完全冲突，且子集中元素的个数越多，子集的模糊度越大[16]。超椭球模型具有参数变化连续、模型结构简单和易于进行相关性分析的优点[17]。设超椭球约束后的底事件
$ {x_i} $ 在不同故障状态$ x_i^{{a_i}} $ 下的失效可能性为$ P\left( {x_i^{{a_i}}} \right) $ ，以二维超椭球为例，与二维区间模型对比，如图3所示。设由二维区间模型计算得出的随机变量集合
$ X $ 中随机变量$ {x_i} \in [x_i^L,x_i^U], {\text{ }}(i = 1,2,\cdots,n) $ ，其中，$ x_i^L $ 和$ x_i^U $ 分别为$ {x_i} $ 的取值下界和取值上界。则$ X $ 的超椭球模型可描述为$$ \left[ {\frac{{{X_1} - {x_{1m}}}}{{{x_{1r}}}}, \cdots ,\frac{{{X_n} - {x_{nm}}}}{{{x_{nr}}}}} \right] \times {\left[ {\frac{{{X_1} - {x_{1m}}}}{{{x_{1r}}}}, \cdots ,\frac{{{X_n} - {x_{nm}}}}{{{x_{nr}}}}} \right]^{\mathrm{T}}} \leqslant 1 $$ (4) 式（4）中，
$ {X_i} $ 为超椭球约束后的底事件$ {x_i} $ 的失效可能性区间；$ n $ 为底事件数目；$ {x_{im}} = \dfrac{{x_i^L + x_i^U}}{2} $ ，表示$ {x_i} $ 的名义值；$ {x_{i{}r}} = \dfrac{{ - x_i^L + x_i^U}}{2} $ ，表示$ {x_i} $ 的离差。2.3 超椭球模型约束故障区间
由式（4）可得，故障树底事件
$ {x_i} $ 的区间概率$ P\left( {x_i^{{a_i}}} \right) $ 的超椭球模型为$$ \begin{split} &\left[ {\frac{{P\left( {x_1^{{a_1}}} \right) - {P_m}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)}}{{{P_r}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)}}, \cdots ,\frac{{P\left( {x_n^{{a_n}}} \right) - {P_m}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)}}{{{P_r}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)}}} \right] \times {\text{ }} {\left[ {\frac{{P\left( {x_1^{{a_1}}} \right) - {P_m}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)}}{{{P_r}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)}}, \cdots ,\frac{{P\left( {x_n^{{a_n}}} \right) - {P_m}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)}}{{{P_r}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)}}} \right]^T} \leqslant 1 \end{split} $$ (5) 式（5）中，
$ {P_m}\left( {x_i^{{a_i}}} \right) = \dfrac{{Bel(x_i^{{a_i}}) + Pl(x_i^{{a_i}})}}{2} $ 为$ P\left( {x_i^{{a_i}}} \right) $ 的名义值；$ {P_r}\left( {x_i^{{a_i}}} \right) = \dfrac{{ - Bel(x_i^{{a_i}}) + Pl(x_i^{{a_i}})}}{2} $ 为$ P\left( {x_i^{{a_i}}} \right) $ 的离差；下界$ Bel(x_i^{{a_i}}) $ 和上界$ Pl(x_i^{{a_i}}) $ 由D-S证据理论求得。引入矢量z为：
$$ {{{\boldsymbol{z}}}} = {{{{\boldsymbol{D}}}}^{ - 1}}{{{\boldsymbol{P}}}} $$ (6) 式（6）中，
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\boldsymbol{z}}}} = ({z_1},{z_2}, \cdots ,{z_n})} \\ {{\boldsymbol{D}} = {\mathrm{diag}}\left( {{P_r}\left( {x_1^{{a_1}}} \right),{P_r}\left( {x_2^{{a_2}}} \right), \cdots ,{P_r}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)} \right)} \\ {\boldsymbol{P}} = \left(P{{\left( {x_1^{{a_1}}} \right)}^T},P{{\left( {x_2^{{a_2}}} \right)}^T}, \cdots ,P{{\left( {x_n^{{a_n}}} \right)}^{\mathrm{T}}} \right) \end{array}} \right. $$ (7) 则式（6）转化为
$$ {\left( {{{\boldsymbol{z}}} - {{\boldsymbol{z}}_0}} \right)^{\mathrm{T}}} \times {\text{ }}\left( {{{\boldsymbol{z}}} - {{{{\boldsymbol{z}}}}_0}} \right) \leqslant 1 $$ (8) 式（8）中，
$$ {{\boldsymbol{z}}_0} = {\left[ {\frac{{{P_m}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)}}{{{P_r}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)}},\frac{{{P_m}\left( {x_2^{{a_2}}} \right)}}{{{P_r}\left( {x_2^{{a_2}}} \right)}}, \cdots ,\frac{{{P_m}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)}}{{{P_r}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)}}} \right]^{\mathrm{T}}} $$ (9) 由公式（8）可得，底事件区间概率
$ P\left( {x_i^{{a_i}}} \right) $ 应在空间超椭球内部$ \Delta {{{\boldsymbol{z}}}} = {{{\boldsymbol{z}}}} - {{{{\boldsymbol{z}}}}_0} $ 中均匀取值。设单位超椭球坐标为$ \left( {r,{\theta _1},{\theta _2}, \cdots ,{\theta _{n - 1}}} \right) $ ，其中，$ r \in \left[ {0,1} \right] $ ，$ {\theta _i} \in \left[ {0,2\pi } \right] $ ，则$$ \Delta {{{\boldsymbol{z}}}} = {{{\boldsymbol{z}}}} - {{{{\boldsymbol{z}}}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r\cos {\theta _1}} \\ {r\sin {\theta _1}\cos {\theta _2}} \\ \vdots \\ {r\sin {\theta _1}\sin {\theta _2} \cdots \sin {\theta _{n - 3}}\cos {\theta _{n - 2}}} \\ {r\sin {\theta _1}\sin {\theta _2} \cdots \sin {\theta _{n - 2}}\cos {\theta _{n - 1}}} \end{array}} \right] $$ (10) 由式（6）、式（7），可得底事件区间概率
$ P\left( {x_i^{{a_i}}} \right) $ 为$$ \qquad\qquad\qquad\qquad\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {P\left( {x_1^{{a_1}}} \right) = {P_r}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)r\cos {\theta _1} + {P_m}\left( {x_1^{{a_1}}} \right)} \\ {P\left( {x_2^{{a_2}}} \right) = {P_r}\left( {x_2^{{a_2}}} \right)r\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + {P_m}\left( {x_2^{{a_2}}} \right)} \\ \qquad\qquad\qquad \vdots \\ {P\left( {x_{n - 1}^{{a_{n - 1}}}} \right) = {P_r}\left( {x_{n - 1}^{{a_{n - 1}}}} \right)r\sin {\theta _1} \cdots \sin {\theta _{n - 2}}\cos {\theta _{n - 1}} + {P_m}\left( {x_{n - 1}^{{a_{n - 1}}}} \right)} \\ {P\left( {x_n^{{a_n}}} \right) = {P_r}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)r\sin {\theta _1} \cdots \sin {\theta _{n - 2}}\sin {\theta _{n - 1}} + {P_m}\left( {x_n^{{a_n}}} \right)} \end{array}} \right. $$ (11) 超椭球模型约束的区间概率如表3所示。
表 3 超椭球模型约束的设备故障概率区间设备 超椭球模型约束概率区间 /×10−5 SCU [1.491, 2.598] PIO [2.702, 3.482] DY [2.157, 2.714] CI-TC [1.843, 2.235] CI-GS [1.021, 1.299] CI-LEU [1.663, 1.857] CI-CBI [1.001, 1.141] CI-TSRS [1.023, 1.121] CI-ADTCC [1.038, 1.107] 由表3可知，该方法得到设备故障区间概率计算结果与文献[18]的计算结果接近，证明了本方法在TCC可靠性评估中的可行性。同时，该方法得出的故障概率区间比D-S证据理论故障概率区间更小，更加符合工程的实际情况。
3 基于超椭球Markov的TCC 的RUL预测
3.1 超椭球Markov模型构建
Markov模型可描述系统的动态失效行为，也可较好地表达系统发生失效和进行维修的过程[19]，因此，本文将TCC故障树模型转化为Markov模型，画出Markov状态转移图，用矩阵求解RUL关系式并计算可用度。
以驱动采集单元（PIO，Port Input/Output）设备故障为例，主、备设备失效率
$ \lambda $ 相同，采用超椭球约束的故障区间；设备修复率$ \mu $ 相同。PIO设备的Markov链如图4所示。图4中，状态
$ {P_{\text{S}}} $ 表示PIO_1和PIO_2都正常工作；状态$ {P_{{\text{S}}1}} $ 和$ {P_{{\text{S}}2}} $ 表示PIO_1与PIO_2其一故障，另一正常工作，PIO设备正常；状态$ {P_{\text{F}}} $ 表示PIO设备失效；t 表示时间。3.2 TCC可用度评估
以PIO设备为例，计算其可用度。PIO设备等价于2个相同设备并联，有3种状态：0状态—2个设备都正常工作，PIO设备正常；1状态—任意1个设备故障，PIO设备正常；2状态—2个设备都故障，PIO设备故障。其状态转移图如图5所示。
其微系数转移矩阵为
$$ {{{\boldsymbol{P}}}}\left( {\Delta t} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 2\lambda \Delta t}&{2\lambda \Delta t}&0 \\ {\mu \Delta t}&{1 - \left( {\lambda + \mu } \right)\Delta t}&{\lambda \Delta t} \\ 0&{\mu \Delta t}&{1 - \mu \Delta t} \end{array}} \right] $$ (12) 令
$ \Delta t = 1 $ ，得$ {{{\boldsymbol{P}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 2\lambda }&{2\lambda }&0 \\ \mu &{1 - \left( {\lambda + \mu } \right)}&\lambda \\ 0&\mu &{1 - \mu } \end{array}} \right] $ 则状态方程为
$ {\boldsymbol{P}'}(t) = {\boldsymbol{P}}(t) \times (\boldsymbol{P} - {\boldsymbol{E}}) $ ，即$$ \begin{gathered} [\begin{array}{*{20}{c}} {P_0'\left( t \right)}&{P_1'\left( t \right)}&{P_2'\left( t \right)} \end{array}] = \\ [\begin{array}{*{20}{c}} {{P_0}\left( t \right)}&{{P_1}\left( t \right)}&{{P_2}\left( t \right)} \end{array}]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2\lambda }&{2\lambda }&0 \\ \mu &{ - \left( {\lambda + \mu } \right)}&\lambda \\ 0&\mu &{ - \mu } \end{array}} \right] \\ \end{gathered} $$ (13) 状态方程中，
$ \boldsymbol{E} $ 为单位矩阵；式（13）中，$ {P_0}\left( t \right) $ 为0状态在时刻$ t $ 的条件概率。求解式（13），设初始条件为
$$ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_0}\left( 0 \right)}&{{P_1}\left( 0 \right)}&{{P_2}\left( 0 \right)} \end{array}} \right]^{\text{T}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \end{array}} \right]^{\text{T}}} $$ (14) 可得到PIO设备的瞬时可用度为
$$ {{A}}\left( t \right) = \frac{{2\lambda \mu {\text{ + }}{\mu ^2}}}{{2\lambda \mu {\text{ + }}{\mu ^2}{\text{ + }}2{\lambda ^2}}} - \frac{{2{\lambda ^2}\left( {{s_2}{e^{{s_1}t}} - {s_1}{e^{{s_2}t}}} \right)}}{{{s_1}{s_2}\left( {{s_1} - {s_2}} \right)}} $$ (15) 式（15）中，
$ s_1=s_2=\dfrac{1}{2}\left[-\left(3\lambda+2\mu\right)\pm\sqrt{\lambda^2+4\lambda\mu}\right] $ 令
$ t \to \infty $ ，则PIO设备的稳态可用度为$$ A\left( \infty \right) = \frac{{{\mu ^2} + 2\lambda \mu }}{{2\lambda \mu {\text{ + }}{\mu ^2}{\text{ + }}2{\lambda ^2}}} $$ (16) 将表3中的超椭球模型约束区间概率数据代入式（15）、式（16），可得到TCC各设备的瞬时可用度随时间变化的下界与上界，如图6所示；稳态可用度，如表4所示。
表 4 TCC各设备的稳态可用度设备 稳态可用度 SCU [0.999 999 999 662 53, 0.999 999 999 888 85] PIO [0.999 999 999 393 81, 0.999 999 999 634 97] DY [0.999 999 999 631 72, 0.999 999 999 767 37] CI-TC [0.999 999 999 750 24, 0.999 999 999 830 17] CI-GS [0.999 999 999 915 63, 0.999 999 999 947 88] CI-LEU [0.999 999 999 827 58, 0.999 999 999 861 72] CI-CBI [0.999 999 999 934 91, 0.999 999 999 949 90] CI-TSRS [0.999 999 999 937 17, 0.999 999 999 947 67] CI-ADTCC [0.999 999 999 938 73, 0.999 999 999 946 13] 由TCC各设备的逻辑门关系可计算出TCC可用度为[0.999 999 997 992 31, 0.999 999 998 774 67]，可知TCC的可用度均大于0.999 9，达到设计标准[20]。
3.3 TCC的RUL预测
以PIO设备首次出现故障前的可靠度函数为例。PIO设备的失效率为
$ \lambda_{\mathrm{PIO}} $ ，则可得其Markov状态转移图，其状态转移率矩阵为$$ {{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{ - }}2\lambda }&\lambda &\lambda &0 \\ \mu &{{{ - }}\lambda {{ - }}\mu }&0&\lambda \\ \mu &0&{{{ - }}\lambda {{ - }}\mu }&\lambda \\ 0&\mu &\mu &{{{ - 2}}\mu } \end{array}} \right] $$ (17) 因求解的是PIO设备首次出现故障的可靠度函数，令
$ \mu = 0 $ ，则状态方程$ \boldsymbol{P}'\left(t\right)=\boldsymbol{P}\left(t\right)\boldsymbol{\times A} $ 的矩阵形式为$$ \begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {P_S'\left( t \right)}&{P_{S1}'\left( t \right)}&{P_{S2}'\left( t \right)}&{P_F'\left( t \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_S}\left( t \right)}&{{P_{S1}}\left( t \right)}&{{P_{S2}}\left( t \right)}&{{P_F}\left( t \right)} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{ - }}2\lambda }&\lambda &\lambda &0 \\ 0&{{{ - }}\lambda }&0&\lambda \\ 0&0&{{{ - }}\lambda }&\lambda \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right] \\ \end{gathered} $$ (18) 设初始条件为
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_S}\left( 0 \right)}& {{P_{S1}}\left( 0 \right)}& {{P_{S2}}\left( 0 \right)}& {{P_F}\left( 0 \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1& 0& 0& 0 \end{array}} \right] $$ (19) 将式（19）代入式（18）所示的微分方程组求解。状态
$ {P_S} $ 、$ {P_{S1}} $ 和$ {P_{S2}} $ 是非失效状态，状态$ {P_F} $ 表示设备失效。可得PIO设备的可靠度函数为
$$ {R_{{\text{PIO}}}}(t) = 2{{\mathrm{e}}^{ - {\lambda _{{\text{PIO}}}}t}} - {{\mathrm{e}}^{ - 2{\lambda _{{\text{PIO}}}}t}} $$ (20) PIO设备的失效分布函数
$$ {F_{{\text{PIO}}}}\left( t \right) = 1 - {R_{{\text{PIO}}}}(t) = 1 - 2{{\mathrm{e}}^{ - {\lambda _{{\text{PIO}}}}t}} + {{\mathrm{e}}^{ - 2{\lambda _{{\text{PIO}}}}t}} $$ (21) PIO设备的可靠度函数、失效分布函数和失效密度函数的曲线如图7所示。
从图7可知，PIO设备的失效时间主要集中在15～90个月之间，平均RUL在48.98～63.12个月之间。同理，计算TCC系统的RUL，如图8所示。
TCC的可靠度函数为
$$ {R_{{\text{TCC}}}}(t) = {R_{{\text{SCU}}}}\left( t \right) \times {R_{{\text{PIO}}}}\left( t \right) \times \cdots \times {R_{{\text{CI - ADTCC}}}}\left( t \right) $$ (22) TCC的失效分布函数为
$$ {F_{{\text{TCC}}}}(t) = 1 - {R_{{\text{TCC}}}}(t) $$ (23) 由图8可知，TCC平均RUL在39.87～42.53个月之间。
本文综合考虑了TCC的失效率和共因失效率，利用D-B证据理论对失效数据做数据融合处理，得到设备初始故障区间概率；在此基础上，采用超椭球模型约束设备初始故障区间概率，规避区间模型的极端情况，增加了故障率数据范围的可信度。实际工作情况下，由于工作环境的差异，TCC的可用度和RUL是在区间内上下浮动的，而通过本文方法计算得到的可用度相比文献[18]计算的缩小了
$ 5.456\ 3\times10^{-8} $ %～$ 1.327\ 99\times10^{-7} $ %，TCC的RUL波动范围也缩小77.17%～78.47%，而各设备的可靠度与可用度排序评价结果相同，且符合实际情况。4 结束语
文章采用超椭球模型约束故障区间概率，得到更加精确的底事件区间概率；将故障树模型转化为Markov模型以更好地表达TCC发生失效和进行维修的过程，所建模型符合现场实际情况。由可用度分析可知，TCC的稳态可用度为[0.999 999 997 992 31, 0.999 999 998 774 67]，达到设计标准；TCC的RUL为39.87～42.53个月。通过兰新客专2018年全年CTCS-2级列车控制系统的TCC现场维护数据，验证了本文TCC的RUL预测结果与现场维修或更换周期相符。
文中方法具有一定普适性，可对具有动态特性的类似部件进行可用度评估及RUL预测；还可为不同运营环境下车辆部件的实时可用度评估、RUL预测、检修周期优化、差异化检修策略及修程修制的完善提供决策支持。
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表 1 设备失效率和维修率
设备 独立失效率$ {\lambda _1} $/（次·h−1） 共因失效率$ {\lambda _2} $/（次·h−1） 维修率$ \mu $ SCU $ 1.26 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 3.90 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 PIO $ 2.28 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 1.46 \times {10^{{{ - 6}}}} $ 2 DY $ 1.59 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 1.77 \times {10^{{{ - 6}}}} $ 2 CI-TC $ 1.20 \times {10^{{{ - }}5}} $ $ 1.04 \times {10^{{{ - 6}}}} $ 2 CI-GS $ 3.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 1.98 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-LEU $ 9.20 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 4.84 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-CBI $ 2.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 2.33 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-TSRS $ 2.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 1.58 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 CI-ADTCC $ 2.10 \times {10^{{{ - 6}}}} $ $ 1.11 \times {10^{{{ - 7}}}} $ 2 
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表 2 D-S证据理论获取的设备故障区间概率
设备 证据区间概率 /×10−5 SCU [1.225, 2.967] PIO [2.256, 3.998] DY [1.225, 2.967] CI-TC [1.592, 3.334] CI-GS [0.303, 2.045] CI-LEU [0.899, 2.641] CI-CBI [0.207, 1.949] CI-TSRS [0.205, 1.948] CI-ADTCC [0.204, 1.947]
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表 3 超椭球模型约束的设备故障概率区间
设备 超椭球模型约束概率区间 /×10−5 SCU [1.491, 2.598] PIO [2.702, 3.482] DY [2.157, 2.714] CI-TC [1.843, 2.235] CI-GS [1.021, 1.299] CI-LEU [1.663, 1.857] CI-CBI [1.001, 1.141] CI-TSRS [1.023, 1.121] CI-ADTCC [1.038, 1.107]
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表 4 TCC各设备的稳态可用度
设备 稳态可用度 SCU [0.999 999 999 662 53, 0.999 999 999 888 85] PIO [0.999 999 999 393 81, 0.999 999 999 634 97] DY [0.999 999 999 631 72, 0.999 999 999 767 37] CI-TC [0.999 999 999 750 24, 0.999 999 999 830 17] CI-GS [0.999 999 999 915 63, 0.999 999 999 947 88] CI-LEU [0.999 999 999 827 58, 0.999 999 999 861 72] CI-CBI [0.999 999 999 934 91, 0.999 999 999 949 90] CI-TSRS [0.999 999 999 937 17, 0.999 999 999 947 67] CI-ADTCC [0.999 999 999 938 73, 0.999 999 999 946 13]
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