Sliding mode adaptive speed tracking control based on single-particle dynamic model of urban rail train
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摘要: 实现城市轨道交通（简称：城轨）列车自动驾驶的关键是实现城轨列车运行速度曲线的跟踪控制。文章通过对城轨列车的运行进行受力分析，建立城轨列车单质点动力学模型，并设计了滑模自适应速度跟踪控制器，实现对城轨列车运行速度曲线的跟踪控制。以广州22号线城轨列车数据为研究对象，进行仿真试验，验证了滑模自适应速度跟踪控制器的有效性。Abstract: The key to implementing automatic driving of urban rail transit trains is to track and control the speed curve of urban rail train operation. This paper analyzed the forces acting on the operation of urban rail train, established a single-particle dynamic model of urban rail train, and designed a sliding mode adaptive speed tracking controller to implement tracking control of the speed curve of urban rail train operation. The paper also took the data of urban rail train on Guangzhou Line 22 as the research object and conducted simulation experiments to verify the effectiveness of the sliding mode adaptive speed tracking controller.
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列车自动驾驶（ATO，Automatic Train Operation）是指应用人工智能、智能控制等技术，实现列车自动启动、牵引、惰性、制动等基本的列车运行作业，保障列车的准点发车、安全运行和精准停车[1]。ATO分为4个自动化等级（GoA，Grade of Automatic），分别为：司机监控列车运行（GoA1）、半自动列车运行（GoA2）、无司机驾驶（GoA3）和无人值守列车运行（GoA4）[2]。目前，在我国已开通的350余条城市轨道交通（简称：城轨）线路中，由于地形、气候和人口分布等复杂因素的影响，只有30余条线路实现了GoA4级自动驾驶，ATO系统应用普及率较低，因此，对ATO的相关研究已成为列车运行控制系统（简称：列控系统）研究的热点。ATO需要对城轨列车运行速度曲线进行跟踪控制，来实现城轨列车的自动驾驶。实现城轨列车运行速度曲线跟踪控制的关键在于建立准确的城轨列车动力学模型和选择合适的控制算法。
城轨列车动力学模型可分为单质点模型和多质点模型。单质点动力学模型较简单，适用于城轨列车的整体控制和调度，但对于城轨列车整体的输入饱和约束及控制时滞问题考虑较少；多质点动力学模型可体现城轨列车车厢间的相互作用力和相对位移关系，适用于对每一节车厢的控制，但由于其维数增大，导致计算复杂，难以融入复杂的非线性特性和系统时滞。文献[3]对高速列车进行单质点动力学建模，但是未考虑到速度延时及输入饱和约束；文献[4]利用牛顿第二定律分别建立了高速列车的三质点和八质点动力学模型，并根据得到的各车厢间相互作用力进行安全分析；文献[5]利用单质点动力学模型描述高速列车的位移与速度，并基于高速列车多质点模型建立了一种多级牵引与制动的高速列车多质点单位移模型，保留了多质点特性且具有低维数特点，但并未考虑高速列车的速度时滞特性。
在控制算法的选择方面，列车在实际运行中常遇到参数突变和扰动的情况，经典控制算法已无法满足控制需求。滑动模态（简称：滑模）控制算法在实际工程中逐渐得到推广应用，具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、物理实现简单等优点，但对被控对象模型的精准性有较高要求。因为城轨列车实际运行环境复杂多变，其动力学模型中部分参数无法直接测量，具有不确定性，针对城轨列车动力学模型中的不确定性，有学者利用自适应方法对城轨列车动力学模型中存在的不确定、非线性特性的参数进行在线估计，并与期望的城轨列车速度指标进行对比，以此调整对城轨列车牵引力或制动力的控制策略，实现对城轨列车动力学模型不确定参数的实时补偿[6]。
基于上述研究，本文以城轨列车运行速度曲线的跟踪控制为研究目的，建立城轨列车单质点动力学模型。结合滑模控制和自适应控制的特点，设计滑模自适应速度跟踪控制器。
1 建立城轨列车单质点动力学模型
将整组城轨列车当作一个刚性的无尺寸质点，利用牛顿定律对其进行受力分析，考虑城轨列车的输入饱和约束、控制延时及惯性环节，以微分方程的形式建立了城轨列车单质点动力学模型。
1.1 城轨列车受力分析
本文采用单质点模型对城轨列车运行的纵向运动特性进行描述，仅考虑城轨列车在平直道上运行的情况，根据牛顿第二定律对城轨列车进行受力分析，如图1所示。
图1中，
$F$ 为城轨列车牵引电机/制动装置在运行过程中提供的牵引力/制动力，牵引力和制动力不能同时存在；$f$ 为城轨列车受到的总运行阻力，包括基本运行阻力和附加阻力；$N$ 为轨面提供的支持力；$ Mg $ 为城轨列车的重力。1.1.1 城轨列车牵引力和制动力
城轨列车牵引力是驱动列车向前运行的力，其产生的基本原理如图2所示，由传动系统对车轮产生旋转力矩
$M$ 而产生牵引力${F_1}$ 。${F_2}$ 为与${F_1}$ 大小相同、方向相反的相互作用力。在ATO中，城轨列车牵引力的大小由列控系统计算产生。如要增大城轨列车牵引力，则要增加电动机的牵引功率。制动力是城轨列车运行过程中阻碍其运行、可调节的外力，只能在牵引力为零时产生，且与城轨列车运行速度方向相反。牵引力仅产生在动力单元的动轮与轨道间，而制动力产生在所有车厢的动轮与轨道间。
1.1.2 基本运行阻力
城轨列车受到的基本阻力包括机械阻力和气动阻力，其中，机械阻力与城轨列车实际速度成正比，气动阻力与城轨列车实际速度的平方成正比。但由于城轨列车运行中影响基本阻力的因素较复杂，在实际运用中很难用理论公式进行计算，通常采用Davis公式[7] ，可表示为
$$ {f_b}(v) = a + bv(t) + cv{(t)^2} $$ (1) 式中，fb(v)为基本运行阻力；
$v(t)$ 表示城轨列车的运行速度，单位为${\rm{km}}/{\rm{h}}$ ；$ a、b、c $ 为基本阻力系数，其系数值主要与城轨列车类型、结构及运行条件（风速、温度等）有关。1.1.3 附加阻力
城轨列车在某些特殊场景下（坡道、弯路、隧道、恶劣气候等）运行时，会受到除基本阻力外的阻力，称为附加阻力。附加阻力的计算公式为
$$ {f_a} = {w_i} + {w_r} + {w_s} $$ (2) 式中，
${w_i}$ 为坡道附加阻力；${w_r}$ 为曲线附加阻力；${w_s}$ 为隧道附加阻力。坡道附加阻力指城轨列车在坡道状况下运行时，自身重力沿坡道斜面产生的分力，上坡时为正值（阻力），下坡时为负值（加速力）；曲线附加阻力指城轨列车在曲线上运行比在直线上运行时额外增加的阻力；隧道附加阻力指城轨列车进入隧道时所受到的空气阻力。为方便计算，本文只考虑城轨列车在平直道上运行的场景，忽略其受到的坡道附加阻力和曲线附加阻力。因此，城轨列车受到的附加阻力即为隧道附加阻力，隧道附加阻力${w_s}$ 的经验公式[8]为$$ {f_a} = {w_s} = 0.000\;13 m g {L_s} $$ (3) 式中，
${f_a}$ 的单位为 N；0.00013为隧道附加阻力相关系数的一般取值；$m$ 为城轨列车的质量，单位为 kg；$g$ 为重力加速度；${L_s}$ 为隧道长度，单位为 m。1.2 列车单质点动力学模型
根据牛顿定律，城轨列车单质点动力学模型可用微分方程描述，公式为
$$ \begin{gathered} \frac{{dS(t)}}{{dt}} = \dot S(t) = v(t) \\ m \frac{{dv(t)}}{{dt}} = m \dot v(t) = F(t) - {f_a} - {f_b}(v) \\ \end{gathered} $$ (4) 式中，t 为城轨列车的运行时间，
$S(t)$ 为城轨列车位移；$F(t)$ 为牵引力或制动力输入。在实际工程中，由于信号传输和机械传导，控制输入需要经过一定的延时才能作用于执行机构，即城轨列车的电机，其输出量（城轨列车加速度）的变化需要一个过程，可用一阶惯性环节来描述。城轨列车电机牵引或制动过程可用模型框图描述，如图3所示。
图3中，
$ s $ 表示对微分方程进行拉普拉斯变换的复变量；$F(t)$ 为通过计算得到的输入，即期望控制输出；${F_1}(t)$ 为实际控制输出；${e^{ - \tau s}}$ 为延时环节，$\tau $ 为时滞参数；$F(t)$ 与${F_1}(t)$ 间的关系可表示为$$ {F_1}(t) = F(t - \tau ) $$ (5) $K$ 为常数，表示比例环节；$a(t)$ 为期望加速度，${a_1}(t)$ 为实际加速度；$\dfrac{1}{{Ts + 1}}$ 为一阶惯性环节，$T$ 为惯性环节时间常数；$\dfrac{1}{s}$ 为积分环节，实际加速度${a_1}(t)$ 经积分环节得到城轨列车运行速度$v(t)$ 。在城轨列车实际运行中，应考虑对牵引力或制动力的饱和约束，即存在上下界，公式为
$$ \overline {{F_1}} (t) = \left\{ \begin{gathered} F_t^*{\text{ }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;{F_1}(t) > F_t^* \\ {F_1}(t){\text{ }}\;\;\;\;\;F_b^* \leqslant {F_1}(t) \leqslant F_t^* \\ F_b^*{\text{ }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;{F_1}(t) < F_b^* \\ \end{gathered} \right. $$ (6) 式中，
$\overline {{F_1}} (t)$ 为施加饱和约束的输入，$F_t^*$ 和$F_b^*$ 分别为城轨列车的最大牵引力和最大制动力。同时，城轨列车在区间中运行时，其质量不会发生变化，但到站后由于乘客上/下车，导致其在每个站的质量均不相同，模型中须考虑该因素。综上，联立公式（4）～（6），带入公式（1）和（3），考虑城轨列车到站时的质量变化，设在第
$ i $ 区间运行时，城轨列车质量为$ {m_i} $ ，i=1, 2, ···, n，则城轨列车单质点动力学模型的微分方程表示为$$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{dS(t)}}{{dt}} = v(t) \\ {m_i} \frac{{dv(t)}}{{dt}} = \overline {{F_1}} (t) - 0.00013{m_i}g {L_s} - (a + bv(t) + c{v^2}(t)) \\ \end{gathered} \right. $$ (7) 2 列车速度跟踪控制器设计
2.1 滑模控制原理
滑模控制本质上是一类特殊的非线性控制，可在动态过程中，迫使被控对象按照预定滑模的轨迹运动[9]。
通常，在被控对象状态空间中，存在一个超曲面如公式（8）所示
$$ s(x) = s({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}) = 0 $$ (8) 式中，
${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 表示被控对象的状态变量，$ s(x) $ 表示超曲面的函数，该超曲面将状态空间分为$s(x) > 0$ 和$s(x) < 0$ 两部分。在该超曲面上存在一类终止点，即状态变量到达超曲面$s(x) = 0$ 附近时，从两边趋向于该点，这些终止点所在区域被称为滑动模态区，即滑模面，公式为$$ \mathop {\lim }\limits_{s(x) \to {0^ + }} \dot s(x) \leqslant 0 \leqslant \mathop {\lim }\limits_{s(x) \to {0^ - }} \dot s(x) $$ (9) 式中，
$\dot s(x)$ 表示超曲面函数的一阶导数，表示状态变量的变化趋势。滑模控制常存在抖振现象，影响被控对象的动态性能，为保证状态变量在超曲面附近以较小的速度趋近，防止速度过快，造成抖振，需要设计合理的趋近律。
2.2 自适应控制基本原理
自适应控制是一种自动校正的控制形式，适用于模型中存在不确定性或时变参数的情况[10]。自适应控制主要由参考模型、反馈控制器和调整机制实现。参考模型表示期望的输入输出行为，反馈控制器是一个参数可变的控制器，调整机制则对反馈控制器中的参数进行实时更新，最终使得被控对象输出跟踪参考模型的输出。
2.3 滑模自适应速度跟踪控制
2.3.1 被控对象数学模型
城轨列车单质点动力学模型作为被控对象，设城轨列车的位移
$S(t)$ 为${x_1}$ ，速度$v(t)$ 为${x_2}$ ，输入${\bar F_1}(t)$ 为$u$ ，因此，公式（7）可表示为$$ \left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2} \\ {{\dot x}_2} = \frac{1}{m}u - \frac{1}{m}({f_a} + {f_b}(v)) \\ \end{gathered} \right. $$ (10) 因
${f_b}(v)$ 和${f_a}$ 具有不确定性，将$\dfrac{1}{m}({f_a} + {f_b}(v))$ 设为不确定参数$\theta $ ，表示基本运行阻力和附加阻力对列车运行时加速度的扰动，具有不确定性。公式（10）进一步转化为$$ \left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2} \\ {{\dot x}_2} = \frac{1}{m}u - \theta \\ \end{gathered} \right. $$ (11) 2.3.2 滑模自适应速度跟踪控制器设计步骤
（1） 定义里程误差为
$e = {x_1} - {x_d}$ ，速度误差为$\dot e = {x_2} - {v_d}$ 。其中，${x_d}$ 为期望里程；${v_d}$ 为期望速度。（2） 定义滑模面函数
$ s(x) $ ，公式为$$ s(x) = \dot e + ce = {x_2} - {\dot x_d} + ce $$ (12) 对滑模面求一阶导，可得
$$ \dot s(x) = {\dot x_2} - {\ddot x_d} + c\dot e = \frac{1}{m}u - \theta - {\ddot x_d} + c\dot e $$ (13) 式中，
$c$ 为滑模参数，需满足$c > 0$ 。取$\hat \theta $ 为$\theta $ 的估计值。（3）选择合适的趋近律。常用的趋近律有等速趋近律和指数趋近律。指数趋近律相较于等速趋近律具有较快的趋近速度和较小的抖振，因此，本文选取指数趋近律进行滑膜自适应速度跟踪控制器的设计，指数趋近律的表达式为
$$ \dot s(x) = - \varepsilon {{\rm{sgn}}} (s(x)) - ks(s(x)) $$ (14) 式中，
$\varepsilon $ 和$k$ 分别为等速趋近项和指数趋近项的参数，满足$\varepsilon > 0 且 \;k > 0$ 。（4）为进一步减小抖振，将公式（14）中的符号函数项
${{\rm{sgn}}} (s(x))$ 改进为饱和函数项${\rm{sat}}(s(x))$ 。其表达式为
$$ {\rm{sat}}(s(x)) = \left\{ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} 1&{}& \;\; {s(x) > \Delta } \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {ks(x)}&{}& \; {\left| s(x) \right|} \end{array} \leqslant \Delta \;,\\ \begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{}&{s(x) < - \Delta } \end{array} \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}&{k = \dfrac{1}{\Delta }} \end{array} $$ (15) $\Delta $ 为边界层厚度，如图4所示，滑模自适应速度跟踪控制器在边界层外采用切换控制，在边界层内采用线性化反馈控制[11]，调整边界层厚度可减弱或避免切换控制带来的抖振现象。优化后的趋近律为$$ \dot s(x) = - \varepsilon {\rm{sat}}(s(x)) - ks(x) $$ (16) （5）联立公式（13）和（16），可得
$$ u = m[(\hat \theta + {\ddot x_d} - c\dot e) - \varepsilon {\rm{sat}}(s(x)) - ks(x)] $$ (17) 2.3.3 调整机制
设计自适应律为
$$ {\dot {\hat {\theta}}} = - \gamma s\;,\;\gamma > 0 $$ (18) 因需要满足
$\theta > 0$ ，为防止出现控制输入$u$ 过大或$\hat \theta \leqslant 0$ 的情况，需要对自适应律进行修正，使得$\hat \theta $ 的变化在$[{\theta _{\min }}\;,\;{{\theta _{\max }}]}$ 范围内，${\theta _{\max }}$ 和${\theta _{\min }}$ 分别为不确定参数$\theta $ 的上下界。本文采用一种映射自适应算法，对公式（18）所示的自适应律进行修正，修正后的自适应律为$$ {\dot{ \hat {\theta}}} = {\rm{Pro}} {j_{\hat {\theta }}}( - \gamma s) = \left\{ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} 0&{}&{{\hat{ \theta} } \geqslant {\theta _{\max }}且{\dot{ \hat {\theta}}} > 0} \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{}&{{\hat{ \theta}} \leqslant {\theta _{\min }}且{\dot{ \hat {\theta}}} < 0} \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} { - \gamma s}&{}&{其他} \end{array} \\ \end{gathered} \right. $$ (19) 即当
$ {\hat {\theta}} $ 大于最大值时，如有继续增大的趋势，即$ {\dot{ \hat {\theta}}} > 0 $ ，则取${\dot{ \hat {\theta}}} = 0 $ ；当$ \hat {\theta} $ 小于最小值时，如有继续减小的趋势，即${\dot{ \hat {\theta}}} < 0 $ ，则取$ {\dot{ \hat {\theta}}} = 0 $ ；其他情况则保持原自适应律不变。3 仿真分析
本文选用广州22号线某三站两区间的ATO数据，作为列车运行期望速度曲线，在MATLAB的Simulink中[12]，使用本文设计的滑模自适应速度跟踪控制器对该路线区间内的城轨列车运行速度曲线进行跟踪控制仿真。
3.1 仿真条件
ATO 数据采样总时长为340 s，采样间隔为 0.05 s，共计 6 800组，拟合后的城轨列车运行期望速度曲线如图5所示。在Simulink仿真中设置固定步长为0.01s；延时环节中时滞参数
$\tau $ 为0.2 s；一阶惯性环节中时间常数$T$ 为0.4。城轨列车单质点动力学模型相关参数设定为：第1区间运行时城轨列车的质量
${m_1}$ 为400 t（空载情况下为378 t），第2区间运行时城轨列车的质量${m_2}$ 为450 t；城轨列车最大牵引/制动力均为 550 kN。滑模自适应速度跟踪控制器相关参数设定为：滑模参数
$c$ 为0.5；趋近律中等速趋近项参数$\varepsilon $ 为0.5，指数趋近项参数$k$ 为0.1；自适应律中自适应参数$\gamma $ 为0.2；参数$\theta $ 的上下界${\theta _{\min }}$ 和${\theta _{\max }}$ 分别为0.01 m/s2和0.15 m/s2。3.2 仿真结果分析
为进行对比，本文使用滑模控制算法设计了用于对比的列车运行速度跟踪控制器，其基本运行阻力参数设定为
$a = 9.888,b = 0.05,c = 0.001\;95$ ，其他参数与3.1中设定的参数一致，并将2种速度跟踪控制器的仿真结果与期望运行速度进行对比。2种速度跟踪控制器输出的城轨列车实际运行速度曲线与期望运行速度曲线对比如图6所示，城轨列车运行速度跟踪误差如图7所示。由图6和图7可以看出，在本文设计的滑模自适应速度跟踪控制器的控制下，城轨列车的速度跟踪误差较小，最大跟踪误差仅为0.7 m/s，城轨列车运行速度的最大允许误差在 2 m/s 左右。因此，本文设计的速度跟踪控制器能够满足设计要求。同时，对比2种控制器的速度曲线和跟踪误差可发现，相比滑模速度跟踪控制器，本文的滑模自适应速度跟踪控制器的误差收敛速度更快，速度跟踪效果更好。
4 结束语
本文针对城轨列车自动驾驶的速度跟踪控制问题，考虑了输入饱和约束、系统延时及惯性环节，建立了城轨列车单质点动力学模型，并设计了滑模自适应速度跟踪控制器。仿真结果表明，本文设计的滑模自适应速度跟踪控制器在速度跟踪误差和收敛速度方面都有着较好的控制效果。
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1. 吕泽军. 基于超局部模型的列车速度位移跟踪控制研究. 现代城市轨道交通. 2024(10): 56-60 . 
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