BDS-3 precise point positioning applied to railway survey
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摘要: 为研究第三代北斗卫星导航系统（BDS -3，BeiDou Navigation Satellite System-3 ）精密单点定位技术（PPP ，Precise Point Positioning）在铁路勘测应用中的可行性，文章推导了BDS-3任意双频非差非组合PPP通用函数模型，并采用该模型对BDS-3卫星B1I、B3I、B1C和B2a信号形成的5种双频组合进行PPP解算和性能分析，利用某铁路观测数据，对BDS-3进行PPP解算。结果表明， 所有观测时段内可见卫星数约为7～11颗，空间位置精度因子（PDOP，Position Dilution of Precision）值约为2.0，可见卫星数较多，且空间几何分布良好；在静态和仿动态解算模式下，在水平和高程方向均可实现厘米级的定位精度。该研究可为BDS-3精密单点定位技术在铁路勘察中的应用提供参考。Abstract: In order to study the feasibility of BeiDou Navigation Satellite System (BDS)-3 Precise Point Positioning (PPP) in railway survey application, this paper used BDS-3 satellite observation data to deduce BDS-3 arbitrary dual-frequency undifferenced and uncombined PPP universal function model. By using this model, the paper carried out the PPP solutions and performance analysis of five dual-frequency combinations formed by BDS-3 satellite signals B1I, B3I, B1C and B2a, and used a railway observation data to calculate BDS-3 PPP. The results show that the number of visible satellites is about 7~11, and the spatial Position Dilution of Precision (PDOP) is about 2.0 during the observation period. The number of visible satellites is large and the spatial geometry distribution is good. BDS-3 can achieve centimeter-level positioning accuracy in both horizontal and elevation directions in static and pseudo-dynamic solution modes. This study can provide reference for the application of BDS-3 precision point positioning technology in railway survey.
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全球卫星导航系统（GNSS ，Global Navigation Satellite System）具有高精度、全天候和高效率等技术特点，已成为铁路建设中的重要技术手段[1-2]。其中，基于载波相位观测值的实时动态差分定位技术（RTK ，Real-Time Kinematic）及相对定位技术在铁路建设中均得到了广泛应用[3]。RTK和相对定位技术需要多台GNSS接收机同步工作，在一些偏远地区或地形复杂艰险的山区，其应用会受到一定限制。经过20余年发展起来的精密单点定位（PPP ，Precise Point Positioning）技术采用单台GNSS接收机，无需架设基站，即可灵活、高效地实现全球范围内的高精度定位[4-5]，该技术的出现为铁路勘测提供了一种新的选择。
北斗卫星导航系统（BDS ，BeiDou Navigation Satellite System）是我国自主建设运行的全球卫星导航系统。第三代北斗卫星导航系统（BDS-3）于2020年7月31日正式建成开通，并向全球用户提供导航定位服务，BDS-3由3颗地球静止轨道（GEO）卫星、3颗倾斜地球同步轨道（IGSO）卫星和24颗中圆地球轨道（MEO）卫星组成[6-7]，提供B1I、B3I、B1C、B2a和B2b共5个频率的信号。刘生峰等人[8]对BDS-3共4种双频组合进行PPP静态解算发现，不同双频组合的点位精度在分米级；陈哲正等人[9]联合BDS-2与BDS-3形成7种双频组合并进行静态PPP分析，结果表明，所有组合定位精度在厘米级。当前，BDS-3已建成开通，系统定位性能得到了较大提升，但对采用非差非组合观测模型的BDS-3 的PPP性能分析及其在铁路勘测场景下的应用和研究相对较少。
因此，为推动BDS-3 PPP在铁路勘测领域的应用，本文推导了BDS-3任意双频非差非组合PPP函数模型，用其对BDS-3卫星B1I、B3I、B1C和B2a信号形成的5种双频组合进行PPP解算和结果分析，并基于国内某铁路控制点观测数据进行BDS-3 PPP解算，分析其在铁路勘测中应用的可行性。
1 BDS-3双频非差非组合模型
相比于传统双频消电离层PPP模型，非差非组合模型具有估计电离层延迟参数和利于多频多系统数据处理等优势，吸引了众多学者对其研究。通常，伪距P和载波相位L初始观测方程可表示为
$$ \begin{gathered} \mathop P\nolimits_i = \rho {\text{ + }}T + \mathop {dt}\nolimits_r - \mathop {dt}\nolimits^s + \mathop I\nolimits_i + \mathop d\nolimits_{r,i} - \mathop d\nolimits^{s,i} + \mathop \varepsilon \nolimits_{r,i}^{\text{s}} \\ \mathop L\nolimits_i = \rho {\text{ + }}T + \mathop {dt}\nolimits_r - \mathop {dt}\nolimits^s - \mathop I\nolimits_i + \mathop \lambda \nolimits_i (\mathop N\nolimits_i + \mathop b\nolimits_{r,i} - \mathop b\nolimits^{s,i} ) + \mathop \xi \nolimits_{r,i}^s \\ \end{gathered} $$ (1) 其中，
$i$ 是信号频点；$r$ 和$s$ 分别表示接收机和卫星；$\mathop P\nolimits_i $ 和$\mathop L\nolimits_i $ 分别是频点$i$ 的伪距和载波相位观测值；$\rho $ 是卫星与接收机之间的几何距离；$T$ 是对流层延迟；$ \mathop {dt}\nolimits_r $ 和$ d{t^s} $ 分别是接收机和卫星钟差；$\mathop I\nolimits_i $ 是频点$i$ 的电离层延迟；$\mathop \lambda \nolimits_i $ 是频点$i$ 的载波波长；$\mathop N\nolimits_i $ 是频点$i$ 的载波整周模糊度；$ \mathop d\nolimits_{r,i} $ 和$ \mathop d\nolimits^{s,i} $ 分别是频点$i$ 的接收机和卫星端的伪距硬件延迟；$ \mathop b\nolimits_{r,i} $ 和$ \mathop b\nolimits^{s,i} $ 分别是频点$i$ 的接收机和卫星端的相位硬件延迟；$ \mathop \varepsilon \nolimits_{r,i}^s $ 和$ \mathop \xi \nolimits_{r,i}^s $ 分别是频点$i$ 的伪距和载波相位观测值的未模型化误差及观测噪声之和[10]。为方便表述，定义以下表达式
$$ \begin{gathered} \mathop \alpha \nolimits_{ij} = \mathop {\mathop f\nolimits_i }\nolimits^2 /(\mathop {\mathop f\nolimits_i }\nolimits^2 - \mathop {\mathop f\nolimits_j }\nolimits^2 ) \\ \mathop \beta \nolimits_{ij} = \mathop {\mathop { - f}\nolimits_j }\nolimits^2 /(\mathop {\mathop f\nolimits_i }\nolimits^2 - \mathop {\mathop f\nolimits_j }\nolimits^2 ) \\ \mathop {DCB}\nolimits_{\mathop p\nolimits_i \mathop p\nolimits_j } = \mathop d\nolimits^{s,j} - \mathop d\nolimits^{s,i} \\ \end{gathered} $$ (2) 其中，
${f_i}$ 和${f_j}$ 分别是频点$i$ 和$j$ 的频率；${\alpha _{ij}}$ 和${\beta _{ij}}$ 是频率相关的放大因子；$\mathop {DCB}\nolimits_{\mathop p\nolimits_i \mathop p\nolimits_j } $ 表示频点$i$ 和$j$ 的伪距硬件延迟差异（DCB ，Differential Code Bias）。目前，国际GNSS服务中心（IGS，International GNSS Service）提供的BDS-3精密钟差产品是以B1I和B3I频点的消电离层组合电子相位中心为参考基准，其表达式为
$$ \mathop {dt}\nolimits_{pre}^s = \mathop {dt}\nolimits^s + \mathop d\nolimits_{\mathop {IF}\nolimits_{13} }^s $$ (3) 其中，
$ \mathop {\mathop d\nolimits_{\mathop {IF}\nolimits_{13} }^s = \alpha }\nolimits_{13} \mathop d\nolimits^{s,1} + \mathop \beta \nolimits_{13} \mathop d\nolimits^{s,3} $ ；$ \mathop {dt}\nolimits_{pre}^s $ 是IGS提供的BDS-3精密钟差；$ \mathop {dt}\nolimits^s $ 是卫星钟差真值；$ \mathop d\nolimits_{\mathop {IF}\nolimits_{13} }^s $ 是B1I和B3I频点上的伪距硬件延迟的消电离层组合。在利用BDS-3信号进行PPP计算时，先对各频点上伪距观测值进行卫星端DCB改正。BDS-3的卫星DCB产品可通过中国科学院或德国宇航中心获得。式（1）经过精密钟差和卫星DCB改正后可整理为
$$ \begin{aligned} & \mathop P\nolimits_i = \rho {\text{ + }}T + \mathop {dt}\nolimits_r + \mathop I\nolimits_i + \mathop d\nolimits_{r,i} + \mathop \varepsilon \nolimits_{r,i}^{\text{s}} \\ & \mathop L\nolimits_i = \rho {\text{ + }}T + \mathop {dt}\nolimits_r - \mathop I\nolimits_i + \mathop \lambda \nolimits_i (\mathop N\nolimits_i + \mathop b\nolimits_{r,i} - \mathop b\nolimits^{s,i} ) + \mathop d\nolimits_{IF13}^s + \mathop \xi \nolimits_{r,i}^s \\ \end{aligned} $$ (4) 其中，
$\mathop d\nolimits_{r,i} $ 可同时被接收机钟差和电离层参数吸收，相位硬件延迟与模糊度具有强相关性，且通常具有极高的时间稳定性，相位延迟可被模糊度完全吸收[11]。通过参数规整可得，利用BDS-3，任意频点$i$ 和$j$ 的非差非组合函数模型为$$ \begin{gathered} \mathop P\nolimits_i = \rho {\text{ + }}T + \mathop {\overline {dt} }\nolimits_r + \overline I + \mathop \varepsilon \nolimits_{r,i}^{\text{s}} \\ \mathop P\nolimits_j = \rho {\text{ + }}T + \mathop {\overline {dt} }\nolimits_r + \mathop \gamma \nolimits_j \cdot \overline I + \mathop \varepsilon \nolimits_{r,j}^{\text{s}} \\ \mathop L\nolimits_i = \rho {\text{ + }}T + \mathop {\overline {dt} }\nolimits_r - \overline I + \overline {\mathop N\nolimits_i } + \mathop \xi \nolimits_{r,i}^s \\ \mathop L\nolimits_j = \rho {\text{ + }}T + \mathop {\overline {dt} }\nolimits_r - \mathop \gamma \nolimits_j \overline { \cdot I} + \overline {\mathop N\nolimits_j } + \mathop \xi \nolimits_{r,j}^s \end{gathered} $$ (5) 其中：
$$ \begin{aligned} & \mathop {\overline {dt} }\nolimits_r {\text{ = }}\mathop {dt}\nolimits_r + \mathop \alpha \nolimits_{ij} \cdot \mathop d\nolimits_{r,i} + \mathop \beta \nolimits_{ij} \cdot \mathop d\nolimits_{r,j} \\ & \overline I {\text{ = }}\mathop I\nolimits_i - \mathop \beta \nolimits_{ij} \mathop {DCB}\nolimits_{r,\mathop p\nolimits_i \mathop p\nolimits_j } \\ & \overline {\mathop N\nolimits_i } {\text{ = }}\mathop \lambda \nolimits_i (\mathop N\nolimits_i + \mathop b\nolimits_{r,i} - \mathop b\nolimits^{s,i} ) + \mathop d\nolimits_{\mathop {IF}\nolimits_{13} }^s -\\ &\qquad\mathop \beta \nolimits_{ij} \mathop {DCB}\nolimits_{r,\mathop p\nolimits_i \mathop p\nolimits_j } - \mathop \alpha \nolimits_{ij} \mathop d\nolimits_{r,i} - \mathop \beta \nolimits_{ij} \mathop d\nolimits_{r,i} \\ & \overline {\mathop N\nolimits_j } {\text{ = }}\mathop \lambda \nolimits_j (\mathop N\nolimits_j + \mathop b\nolimits_{r,j} - \mathop b\nolimits^{s,j} ) + \mathop d\nolimits_{\mathop {IF}\nolimits_{13} }^s -\\ &\qquad\mathop \gamma \nolimits_j \mathop \beta \nolimits_{ij} \mathop {DCB}\nolimits_{r,\mathop p\nolimits_i \mathop p\nolimits_j } - \mathop \alpha \nolimits_{ij} \mathop d\nolimits_{r,i} - \mathop \beta \nolimits_{ij} \mathop d\nolimits_{r,i} \\ & \mathop \gamma \nolimits_j = \mathop f\nolimits_i^2 /\mathop f\nolimits_j^2 \end{aligned} $$ (6) 2 BDS-3 PPP结果分析
2.1 实验数据
本文选取了12个的IGS多系统监测站（简称：测站）2021年5月3日—9日共7天的观测数据，对BDS-3的B1I、B3I、B1C和B2a信号形成的B1I/B3I、B1C/B2a、B3I/B1C、B3I/B2a和B1I/B2a 5种双频组合进行PPP静态和仿动态解算和性能分析。BDS-3中3颗GEO卫星没有播发B1C、B2a信号，本文只使用了BDS-3中的3颗IGSO卫星、24颗MEO卫星的观测数据。精密星历和精密钟差来自武汉大学分析中心，DCB产品来自中国科学院，测站参考坐标来自IGS周解文件。PPP三维收敛时间定义为E、N、U方向坐标偏差均小于1 dm并至少连续保持20个历元所需的时间。
位置精度因子（PDOP ，Position Dilution of Precision）是用来衡量观测卫星空间分布的几何强度因子，卫星空间几何分布越好，PDOP值越小。本文对所选12个测站2021年5月3日的观测数据对BDS-3的卫星可见数和空间分布几何强度进行分析，结果如图1所示。图1中横轴分别列出了所选12个测站的站名，各测站的可见卫星数平均值均不少于8颗，PDOP平均值在2.0左右；各测站BDS-3卫星可见数较多且具有良好的空间几何分布。
2.2 静态解算结果分析
图2给出了5种双频组合各测站连续7天单天静态解算结果在E、N、U方向的均方根误差（RMSE，Root Mean Squared Error）平均值。表1和图3给出了5种双频组合下12个测站连续7天单天静态解算结果的RMSE平均值。从图2中可看出，在水平方向上，大多数测站在5种双频组合下都能收敛到3 cm以内；在高程方向（U方向）上，B3I/B1C、B3I/B2a组合的定位精度较差，其中，部分测站RMSE大于8 cm，其余3种组合的定位精度基本一致，均能收敛到4 cm以内。总体来说，B1I/B3I模式的定位精度最高，主要因为其与生成BDS-3精密产品所用信号相同；B3I/B2a模式的定位精度最差，主要因为B3I与B2a信号频率比较接近而导致的观测方程病态性问题。
表 1 5种双频组合12个测站静态解平均RMSE和收敛时间组合频点 定位精度RMSE/cm 收敛时间/min E N U B1I/B3I 1.4 1.0 2.2 37 B1C/B2a 1.9 1.4 2.6 103 B3I/B1C 1.7 1.4 6.2 72 B3I/B2a 2.7 1.7 8.0 205 B1I/B2a 2.0 1.5 2.5 87 由表1可知，在5种双频组合中，B1I/B3I、B1C/B2a和B1I/B2a均能实现水平方向（E或N方向）优于2 cm，高程方向优于2.6 cm的定位精度，收敛时间分别约为37 min、103 min和87 min。B3I/B1C和B3I/B2a的定位精度在水平方向分别约为2 cm和3 cm，高程方向分别约为6.2 cm和8.0 cm，收敛时间分别约为72 min和205 min。除B1I/B3I组合的收敛时间较短外，其余4种组合的收敛时间均相对较长，其原因是非差非组合模型中未知参数相关性更高，更易受到误差改正的影响。我国现行规范《数字航天摄影测量–控制测量规范》对PPP技术用于航测像控点定位时，要求PPP定位坐标与国家D级GNSS点或大地控制网点坐标的互差在水平方向≤0.20 m，高程方向≤ 0.22 m。BDS-3这5种双频组合在水平和高程方向定位精度均优于0.1m，满足规范要求，均可用于铁路航测中像控点的布设。
2.3 仿动态解算结果分析
因静态模拟动态实验中，测站静态观测数据质量更高，其解算结果可有效反映动态PPP的最佳性能，因此，本文采用静态模拟动态的方法评定5种双频组合动态PPP定位性能。图3给出了5种双频组合下各测站连续7天动态解在E、N、U方向的RMSE平均值。表2给出了5种双频组合下12个测站连续7天动态解的RMSE和收敛时间平均值。从图3可看出，除少数测站外，B1I/B3I、B1C/B2a、B3I/1C和B1I/B2a这4种组合各站在水平方向的定位精度优于10 cm，高程方向优于15 cm；B3I/B2a的定位精度最差。
表 2 5种双频组合12个测站动态解平均RMSE和收敛时间组合频点 定位精度RMSE/cm 收敛时间/min E N U B1I/B3I 3.0 2.7 5.7 49 B1C/B2a 5.7 4.8 12.8 182 B3I/B1C 3.7 3.0 10.9 126 B3I/B2a 18.9 15.6 32.6 332 B1I/B2a 5.8 5.6 12.1 194 由表2可知，除B3I/B2a组合外，其余组合均能实现水平方向优于6 cm，高程方向优于15 cm的定位精度。同静态解算结果一样，B1I/B3I的定位性能最好，B3I/B2a的定位性能最差，其主要原因与静态定位结果一致。在铁路勘测中采用GNGS RTK进行地形测量时，我国现行《铁路工程测量规范》要求测量点坐标与已知点坐标在水平方向互差不大于图上0.2 mm，高程方向互差不大于1/5基本等高距，当对规范中最大比例尺为1∶500，基本等高距为1 m的地形图进行测量时，可知其定位坐标精度要求为水平方向≤0.1 m，高程方向≤0.2 m。综上，BDS-3 PPP动态定位精度满足规范要求，为其在铁路数字地形测量中的应用提供了可能。
2.4 铁路场景下实例分析
为进一步验证在铁路场景下BDS-3 PPP的可用性，随机选取国内某铁路中一个控制点的GNSS静态观测数据进行实验分析，观测时长约2 h，接收机和天线类型分别为Trimble R12和 TRMR12 NONE。采用B1I/B3I频率及本文推导的非差非组合模型进行PPP解算。图4给出了该控制点BDS-3卫星可见数与PDOP值。由图4可知，其观测时段内可见卫星数约为8～12颗，PDOP值约为2.0，说明在真实铁路场景下，BDS-3可见卫星数较多且具有良好的空间几何分布，可用于PPP获取高精度位置信息。
图5给出了控制点分别在静态和仿动态模式下的定位误差序列和不同观测时长的定位精度，图5中红色虚线位置代表收敛时间。由图5可知，该控制点静态和仿动态PPP收敛时间分别约为27 min和44 min，在收敛阶段，定位精度相对较差，但在收敛后，3个方向的定位偏差序列波动较小且均优于10 cm；静态和仿动态定位在观测时长为30 min时，各方向定位偏差均优于20 cm，观测时长超过1 h后，各方向均能实现优于10 cm的定位精度。综上，相比于传统相对定位技术，利用我国BDS-3系统进行精密单点定位能实现厘米级的定位精度，且其定位精度不受测区范围限制、单机作业更具灵活性，并具有全天候的可见卫星数和空间几何分布的高可用性。可见，BDS-3 PPP技术在铁路勘测领域具有较好的应用前景。
3 结束语
随着我国BDS-3的建成和开通，以及全球范围内北斗可见卫星数的增加，北斗在铁路勘测中的应用也越来越广泛。本文针对BDS-3，分别从卫星可见数、PDOP值及PPP定位性能等方面研究了BDS-3 PPP在铁路勘测中应用的可行性。结果表明，在观测时段内可见卫星数均相对较多且具有良好的空间几何分布，为北斗卫星高精度定位提供良好的观测条件；无论是PPP静态还是仿动态解算，均可实现在水平和高程方向的厘米级定位精度，当其应用于铁路勘测中航测像控点的布设或数字地形图的测量时，均满足我国相关现行规范精度要求。基于BDS-3的精密单点定位技术将为卫星导航定位系统在铁路勘测中的应用提供一种新的选择。
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表 1 5种双频组合12个测站静态解平均RMSE和收敛时间
组合频点 定位精度RMSE/cm 收敛时间/min E N U B1I/B3I 1.4 1.0 2.2 37 B1C/B2a 1.9 1.4 2.6 103 B3I/B1C 1.7 1.4 6.2 72 B3I/B2a 2.7 1.7 8.0 205 B1I/B2a 2.0 1.5 2.5 87 
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表 2 5种双频组合12个测站动态解平均RMSE和收敛时间
组合频点 定位精度RMSE/cm 收敛时间/min E N U B1I/B3I 3.0 2.7 5.7 49 B1C/B2a 5.7 4.8 12.8 182 B3I/B1C 3.7 3.0 10.9 126 B3I/B2a 18.9 15.6 32.6 332 B1I/B2a 5.8 5.6 12.1 194
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