随着铁路市场化改革进程的推进，针对客运市场不同旅客群体的铁路新票制产品不断推出和完善。2020年底，铁路计次票、定期票在北京—上海铁路（简称：京沪铁路）及成都—重庆铁路（简称：成渝铁路）试点上线，为日常通勤旅客及铁路常旅客提供了新的购票方案。持新票制产品乘车的旅客可在有效期内，于选定的乘车区间内选择车次及席别，进行多次出行，并享受一定的折扣优惠。新票制产品的推出，维护了铁路与通勤旅客、铁路常旅客的良好客户关系，增加铁路通勤出行粘性；同时，以合理的折扣策略促进旅客出行，提升铁路能力利用率，实现共赢。

科学、合理的铁路新票制产品方案设计是产品能否取得良好效果的关键。但传统的分析手段，如市场与客流分析仅能判断通勤旅客基数、平均出行次数等目标客户体量与宏观客流规律，对于更深入的客户需求、旅客可接受的通勤频率、日期跨度及单次平均票价等重要要素的分析，应以铁路通勤用户的历史需求数据为基础，借助大数据分析、数据挖掘等技术进行深度分析，捕捉旅客真实需求，从而完善、优化铁路新票制方案，使产品取得良好的社会效益与经济效益。

铁路新票制产品上线不久，相关研究尚少，通勤客流规律研究可参考其他交通方式通勤客流规律，如公交、地铁及市郊铁路等^[1-5]。金键等人^[6]基于经济学供需曲线进行客流、票价的敏感性分析，得出不同旅客的价格弹性，但铁路通勤旅客更加多元化，以职业进行分类难以覆盖全部市场；程苑等人^[7]基于双层物元可拓模型提出了公共交通票制评估方法，对北京市票制改革效果进行了评估；马洁等人^[8]对北京市郊铁路票制票价提出建议，并基于旅客通勤需求提供了多种票制及换乘方案设计。铁路客流研究方面，目前，主要集中于客运市场研究、客流预测等宏观客流规律的探索^[9-10]，对于更精细化的旅客需求、客户管理研究多集中于货运领域^[11-14]。而新票制产品的设计，需要更加关注通勤旅客出行特征与需求，要从宏观市场分析转化为更精细化的旅客行为规律。同时，通勤客流是最具出行规律特征的铁路客流之一，因此以通勤客流需求分析为基础，可以逐步探索建立铁路客户的需求分析方法，丰富铁路客运市场分析手段。

1   铁路新票制用户分类

为深入分析铁路新票制客户需求与铁路效益，需以通勤旅客出行分析为基础，根据用户是否有稳定通勤需求，是否因购买计次票而改变通勤习惯等因素将铁路用户细分为4种类型。

1.1   新增用户

新增用户是指在新票制产品推出后新增的通勤旅客，其在购买计次票前，在选定的通勤区间内没有或少有铁路通勤记录，因新票制的推出改变了通勤习惯。新增用户可按照持新票制产品通勤频率的不同，细分为两类。（1）其他交通方式吸引用户：高频通勤旅客，有真实通勤需求，但之前因铁路票价较高而选取其他交通方式出行。（2）尝试性通勤用户：低频通勤旅客，通勤需求不大，购票只是为了留作纪念的可能性较大。

1.2   稳定用户

稳定用户是指在购买计次票前后通勤次数无显著变化的通勤旅客。稳定用户的通勤需求不随票价优惠发生较大变化，其通勤出行频次主要以自身通勤诉求为主，受外部环境、政策影响较小。

1.3   流失用户

流失用户指有通勤需求，但在购买新票制产品后，因产品灵活性不足或通勤区间改变等原因，导致最终计次票未充分使用的用户。这部分旅客在产品到期后复购新票制产品的可能性较低，因此为流失用户。

1.4   增长用户

增长用户指在购买新票制产品后，通勤频率较之前有显著增加的通勤旅客。这部分旅客较易受到票价优惠的影响而增加出行频次，是铁路计次票的主要营销对象。

通勤用户群分类规则如表1所示。

表  1  通勤用户群分类规则

购计次票前是否为铁路通勤用户	计次票是否完全使用	购计次票后通勤频率是否增长	分类结果
否	否	是/否	新增用户（尝试性通勤）
否	是	是	新增用户（其他交通方式吸引）
否	是	否	—
是	否	否	流失用户
是	否	是	—
是	是	是	增长用户
是	是	否	稳定用户

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2   计次票效益计算模型

基于通勤用户分类结果，构建数学模型，分析不同类型用户购新票制产品为铁路部门创造的效益。基于对计次票产品效益的深入分析与优化调整，改进计次票产品设计方案。

2.1   模型基本假设

模型构建前，需要对问题进行假设，规避可能存在的极端问题，使模型能够满足市场的主要规律。

（1） 通勤客流市场基本稳定，在不发生极端市场变故的情况下，通勤用户体量每年波动较小；

（2） 通勤客户中，购买新票制产品的用户数量主要受到宣传力度（是否接收到新产品信息）及用户接收新事物程度的影响，用户在了解新产品使用规则的情况下，出行频次需求符合计次票设计优惠时会购买计次票。

（3） 通勤次数较多的稳定通勤旅客，在90天内购买的首张计次票使用完毕后，仍有通勤需求时会继续复购。在观察时间范围内，旅客最后一次购买的未使用完毕的计次票会在该计次票的后续有效期内继续使用，直至次数用尽或计次票到期。

2.2   模型构建

2.2.1   通勤客户购买计次票张数计算

当旅客购买计次票费用支出小于旅客预估的通勤费用时，会考虑购买计次票，即

其中，$ k $ 为规则约定的单张计次票的最大使用次数；$ p $ 为旅客通勤区间内的铁路二等座票价；$ d $ 为计次票的促销折扣率；$ K $ 为旅客购买计次票后在计次票使用有效周期 $ T $ 内的预估通勤次数。

旅客在满足 $K\geqslant kd$ 时会购买计次票。根据假设（3），在周期 $ T $ 内，旅客购买的计次票张数为旅客预期通勤次数除以每张计次票的额定次数（不能整除时，结果的小数部分代表这一张计次票在周期 T 内使用的次数比例，剩余次数在下一周期内使用），即

其中，$ C\left(K\right) $ 表示旅客在周期 $ T $ 内预期通勤次数为 $ K $ 时购买的计次票张数。

2.2.2   旅客购买计次票效益测算

对于购买计次票的旅客，铁路销售计次票的实际效益为旅客购买计次票的总收入与旅客在不购买计次票时在同区间内通勤产生的出行总支出（即机会成本）的差值。单一旅客购买计次票带来的效益为

其中，$ R $ 表示某旅客购买计次票产生的总效益；$ {K}_{0} $ 为旅客在周期 $ T $ 内未购计次票情况下的通勤次数。根据假设（1），认为旅客在不购买计次票的前提下通勤需求波动较小，因此 $ {K}_{0} $ 可以用旅客购计次票前的通勤频率进行估算。

将不同类型的用户按不同的预估通勤次数进行合计，从而得出各类用户的合计效益

其中，${c}_{{i}}$表示通勤客户分群，$i=1,\cdots ,4,{c}$₁ 表示新增用户，c₂ 表示稳定用户，c₃ 表示流失用户，c₄ 表示增长用户；$ {R}_{{c}_{i}} $ 表示计次票对于用户群 $ {c}_{\mathrm{i}} $ 的总经济效益；$ {N}_{{c}_{i}}\left(K\right) $ 表示周期 $ T $ 内购买计次票后预估通勤总次数为 $ K $ 的用户群 ${c}_{{i}}$ 的人数。

由于后续计算过程中需要计算旅客群的总通勤次数，即${ \displaystyle\sum }_{K=0}^{\infty }{N}_{c_i}\left(K\right)\cdot K$的值，计算较繁琐，因此考虑采用平均通勤次数代替。旅客群体 ${c}_{{i}}$ 在购买计次票后预估平均出行次数 ${\overline {{K_{{\rm{c}}_1}}} }$ 的计算方法为

整理可得

其中，${\overline {{K_{c_i}}} }$表示旅客群体 ${c}_{{i}}$ 购买计次票后的平均通勤次数；$ N $ 表示周期 $ T $ 内购买计次票的总人数；${\alpha }_{{c}_{{i}}}$表示购买计次票的用户中 ${c}_{{i}}$ 客户群人数占比。

由于计次票的购买与使用对旅客出行需求有影响，因此对于不同类型的通勤用户群体，其具体效益计算方式有所不同，需要进一步细化讨论。

（1）新增用户效益

新增用户在新票制实施前几乎无通勤需求，因此$ {K}_{0}=0 $。其效益可简化为$Kpd$，全部新增用户旅客的计次票效益为

将公式（5）代入公式（6），可得新增用户效益为

（2）稳定用户效益

稳定用户出行需求受新票制优惠力度影响较小，购票前后通勤需求变化不大，即$ {K}_{0}=K $。同时，稳定用户由于需求稳定，可以准确衡量自身需求，购买的计次票能够按时完全使用。因此，单一稳定用户的效益计算可简化为$ Kp(d-1) $，则对于全部稳定用户群体的计次票效益为

由于折扣率 $ d < 1 $，因此 $ {R}_{{c}_{2}} < 0 $。稳定用户是能够享受铁路计次票优惠的用户群体，这部分旅客的管理重点是稳定客户关系。

（3）流失用户效益

流失用户在购买计次票后通勤需求下降，无法按时用完全部次数。因此，其效益计算应为旅客购买计次票的总价减去旅客实际持计次票乘车次数折扣前的成本，即$p(dk-\overline {K_{{c}_{3}}'} )$，全部流失用户的计次票效益为

其中，${ {K_{{c}_{3}}'} }$表示流失用户实际持计次票通勤出行次数；${\overline {K_{{c}_{3}}'} }$表示流失用户平均实际持计次票通勤出行次数；${N}_{3}\left({\overline {K_{{c}_{3}}'} }\right)$表示流失用户中持计次票通勤出行次数为${\overline {K_{{c}_{3}}'} }$的用户数。

虽然流失用户后续大概率不会继续购买计次票，但对于已购买的部分，计次票产生正效益，即$ {R}_{{c}_{3}} > 0 $。流失旅客的管理重点是了解旅客流失原因，分析当前计次票的不足，通过优化、改进产品设计方案，增强产品竞争力，改善客户关系。

（4）增长用户效益

增长用户购买计次票后出行更加频繁，需求有提升。假设增长用户需求平均提升比例为$ {\mathrm{\gamma }}_{{c}_{4}} $($ {\mathrm{\gamma }}_{{c}_{4}} > 0 $),增长用户购计次票后的通勤需求$K={\mathrm{\gamma }}_{{c}_{4}}\cdot {K}_{0}$，那么增长用户的计次票效益可以简化为$p\left(d-\dfrac{1}{{\mathrm{\gamma }}_{{c}_{4}}}\right)K$，全部增长用户的计次票效益为

其中，$ {\mathrm{\gamma }}_{{c}_{4}} $表示增长用户购计次票后通勤需求平均提升比例。

可得出铁路计次票的总效益为

从公式（11）中可以看出，当购买计次票的总人数 $ N $ 确定时，计次票折扣率 $ d $ 的值越大，折扣力度越小，收益越大。但实际上，购计次票人数受折扣大小影响，折扣率 $ d $ 的值越大，吸引购买计次票的旅客越少，即 $ N=f\left(d\right) $，且 ${f}{{'}}\left(d\right) < 0$。由于铁路计次票折扣力度与购票人数的函数关系受不同市场的通勤需求影响较大，较难定量，本文根据市场需求进行粗略估算。

根据公式（1），假设当旅客通勤需求 $ {K}_{0} $ 满足${K}_{0}\geqslant kd$时，会有一定比例 $ \beta $ 的旅客购买计次票，折扣率 $ d $ 越小则符合条件的通勤旅客越多，购买计次票的旅客基数也就越大，即

其中，$ M\left({K}_{0}\right) $表示区间上周期T内通勤次数为$ {K}_{0} $的总通勤人数。根据假设（2），认为$ \beta $为常数。

3   算例验证

为验证模型的使用效果，选取部分计次票产品销售样本，代入模型，计算铁路计次票效益。当前计次票设计规则为：旅客可选择90日内，在特定区间，乘坐任意高铁列车20次，计次票票价按区间最高票价的95折计算。

3.1   计次票市场需求估算

根据市场通勤客流情况，分析不同通勤频次的通勤客流人数，以反映出不同票价折扣下购买计次票的用户群体量。本文取2019年同区间内周均出行1次以上的旅客，计算全年连续90天内平均出行次数，并分析得出市场90天内平均通勤出行次数与通勤用户数量的关系，如图1所示。散点图中横坐标为旅客通勤次数，纵坐标为相应通勤次数的旅客人数$ M\left({K}_{0}\right) $的归一化结果，可以看到通勤次数越多，对应的旅客数越少，采用幂函数对散点图进行拟合，得到拟合公式为

图  1  通勤次数与用户数量

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回归拟合的效果常通过计算 R² 的方式进行评估。R² 值是回归平方和与总离差平方和的比值，越接近于1，拟合效果越好。由图1可知，R²为0.978，接近于1，表明拟合结果较好。为简化运算，可近似认为$M\left({K}_{0}\right)\approx a\cdot {({K}_{0}-11)}^{-1}$，根据拟合结果，$ \alpha $约为1.0225。经计算，原拟合结果的平均绝对误差值为0.363%，近似后拟合结果的平均绝对误差值为0.365%，差距不大。

拟合结果表明，通勤客流人数与平均通勤次数成反比，通勤频率越高的旅客人数越少，符合预期。

基于通勤人数与通勤频次的拟合关系，对不同票价折扣率下的购计次票用户数量进行近似估算，即

其中，$ \alpha 、\beta $ 均为常数，根据拟合结果，α 约为1.0225；$\; \beta$ 为购买记次票的旅客比例，$\; \beta < 1$。

由于反比例函数在大于0的区间内是单调递减的，因此

整理可得

3.2   计次票效益计算

本文根据2021年一季度计次票销售情况，随机抽取500份样本，基于客户需求特征进行用户分类。样本中，新增用户66人，占比13.2%；稳定用户231人，占比46.2%，流失用户49人，占比9.8%；增长用户154人，占比30.8%。

以样本平均区间票价200元计算各种类用户效益，样本中各类用户使用计次票平均通勤次数如图2所示。新增用户购计次票后90日内人均期望通勤次数38次，估算效益47.0万元；稳定用户人均期望通勤次数64次，估算效益-14.7万元；流失用户人均期望通勤次数20次，实际人均通勤13次，估算效益6.0万元；增长用户人均期望通勤次数66次，估算效益71.4万元。4类用户相加，得到计次票总效益为109.8万元。可以看出，计次票产品的主要效益来源为增长用户及新增用户，稳定用户的效益冲减程度不大，因此取得了正向收益。

图  2  计次票一季度样本各类用户平均通勤次数

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3.3   计次票最优折扣率计算

将样本中在不同票价折扣率下的购计次票用户数量和实际客户群比例结果代入效益计算公式（11），对不同折扣率下的效益进行计算，计算结果可以简化为

其中，A、B、C、m、n均为常数，A、B、C由相应的客户比例、平均票价、平均通勤频次等数据综合计算得出，m、n由公式（15）定积分估算结果的上下限计算得出。可以看出，计次票效益由两部分组成，衡量票价与购票人数关系的是对数函数，其下降速率是反比例函数；衡量单位效益的部分为一次函数，其增长速率是常数。而折扣率在（0，1）之间，对数函数下降速率低于一次函数的斜率，导致实际效益计算结果整体呈增长趋势，即折扣率 d 越大，效益越大，结果如图3所示。

图  3  计次票效益与折扣率关系分析

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基于当前模型可以看出，计次票的折扣率越高，计次票产品效益就越大。但当前仅针对产品的经济效益进行建模，尚未衡量产品社会效益及提升客户粘性附加的隐形效益，同时因票价浮动使得下浮车次票价低于计次票平均票价导致的旅客车次选择问题也暂未考虑，因此，模型后续仍有改进空间。

4   结束语

本文以旅客出行需求特征为基础，构建模型，对新票制产品效益进行了深入分析，研究了铁路计次票产品效益与票价折扣率的关系。验证结果反映出当前计次票产品取得正向收益，且折扣率越大、产品效益越大。但计算结果也显示，当前较高折扣率下不能用满计次票的旅客比例较高，有潜在客户流失的情况。未来可对新票制产品进一步优化，提升竞争力，使铁路通勤旅客出行更加便捷、实惠。