客流均衡分配可以展示在给定交通组织方式下相关路径的客流分布，是模拟客流出行、评价运输组织实施效率的重要手段。铁路客流分配可分为基于频率的客流分配和基于时刻表的客流分配。赵烁等人^[1]针对铁路客流分配问题本质，将售票策略和购票时序嵌入到客流分配过程中，实现旅客购票过程的仿真模拟；史峰等人^[2]基于离散化时变需求和列车时刻表，构建最小费用流模型来描述客流分配问题，并设计D-W分解算法进行求解；WU Runfa等人^[3]应用文献[2]的方法，设计了原模型基于单目的地的客流分配子问题求解算法，证明了该方法对连续时变需求的收敛性；XU Guangming等人^[4]对多席别客流分配问题进行深入研究，构建线性规划模型，揭示旅客购票竞争本质；文献[5]和文献[6]考虑列车延误特征和旅客出行可靠性，对客流分配问题进行研究。客流分配需要准确地刻画旅客出行群体（简称：群体）的出行特征和分析旅客出行选择行为，上述文献并未针对不同群体细化其出行选择行为，分配结果并不符合旅客实际出行特征。

针对不同群体出行特征，亦有学者进行了相关研究。强丽霞^[7]基于客票数据构建旅客出行选择模型，提出旅客出行回归方法流程；孔德越等人^[8]基于大数据识别旅客常住地，对不同类别旅客行程环进行分析，基于出行链拓展结构提出旅客年度出行特征分析体系；郝晓培等人^[9]基于铁路客运用户画像系统，利用社交网络特征传播的方式对旅客特征进行优化完善，研究用户群体分类。

旅客出行选择易受多种因素影响，且不同出行属性群体对不同因素的敏感和偏好程度具有差异性。为追求客流分配结果的精确度，在进行客流分配的过程中，需要进一步细化不同群体的出行行为特征，提升客流分配结果与实际客流出行需求的匹配度，为铁路运力配置提供决策依据。

1   问题分析

由于铁路出行方案为预定方案，旅客会根据自身的意愿，如出行时间、列车票价、席位票额、乘车时长等预估出行成本，选择合适的方案出行。不同旅客对出行过程各环节的敏感程度不同，这就会导致旅客对各成本项的感受不同，使得同一条高速铁路（简称：高铁）的运输方案对不同群体的影响程度也不同。根据旅客出行静态特征（如年龄、性别、地域、学历等）和动态特征（如起讫点、期望出行时间、空间分布、出行目的、交易行为等）可以将旅客进行群体划分，不同群体对出行过程中的铁路运输产品服务性能（如旅行时间、票价、开行密度、停站方案和舒适度等）具有不同的敏感度，旅客在出行选择时并不会根据实际出行费用进行出行选择，而是根据其敏感度对各出行成本项进行放大或缩小形成主观出行成本。因此，需要结合各群体的主观出行偏好来准确刻画旅客的出行选择行为。此外，由于高铁列车严格限制超员，旅客在根据自身主观出行成本进行出行选择的同时，还要受到列车定员约束的限制。

综上所述，本文所研究问题可概括为：基于列车运行图、出行需求时空分布和群体异质性，构造“时间—空间—群体”出行网络，描述各群体出行过程中的不同出行行为，并根据各群体对各出行环节的敏感度设计出行网络费用，基于列车定员约束构建客流均衡分配模型，对各群体进行出行选择分析。

为进一步抽象和简化问题，在参考实际运营情况的基础上，进行如下解释及假设：

（1）仅考虑旅客直达出行；（2）不考虑列车无座席位；（3）仅考虑不同群体对相同席别占用的竞争情况。

2   “时间—空间—群体”出行网络构造

本文所用主要参数及变量如表1所示。

表  1  参量表

符号	释义	符号	释义
$RS$	OD对集合	${E_{board}},{E_{stop}},{E_{adjust}}$	上车弧集，停站弧集，出行调整弧集
$\left[ {{t_1},{t_2}} \right]$	全天运行时段	$E_{board}^g,E_{stop}^g,E_{adjust}^g$	群体层$g$中的上车弧集，停站弧集，出行调整弧集
$T$	离散时段数	$P_{rst}^g$	OD对$\left( {r,s} \right)$中群体$g$在时段$t$的出行需求出行路径集合
${q_{rs}}$	OD对$\left( {r,s} \right)$ 出行需求总量	$n_{rst}^g$	OD对$\left( {r,s} \right)$中群体$g$在时段$t$的出行需求出行路径数量
${q_{rst}}$	OD对$\left( {r,s} \right)$在时段$t$的出行需求量	$p_{rstk}^g$	OD对$\left( {r,s} \right)$中群体$g$在时段$t$的出行需求的第$k$ 条出行路径
$q_{rst}^g$	OD对$\left( {r,s} \right)$中群体$g$在时段$t$的出行需求量	$f_{rstk}^g$	OD对$\left( {r,s} \right)$中群体$g$在时段$t$的出行需求的第$k$条出行路径的路径流量
$G$	出行群体集合	${\kappa _g}$	群体层$g$单位调整时间成本
$V$	物理车站集合	${w_g}$	群体层$g$单位时间成本
$L$	列车集合	${r_g}\left( l \right)$	群体层$g$中列车$l$的票价率
$\Im$	出行网络	$c_e^g$	群体层$g$中时空弧段$e$ 的费用
$W$	时空节点集合	$\delta \left( {p_{rstk}^g,e} \right)$	出行路径$p_{rstk}^g$与时空弧段$e$的关联关系变量
$E$	时空弧段集合	$cap\left( l \right)$	列车$l$的定员
$y_{rst}^g$	需求$q_{rst}^g$ 的意愿出行时间	$x_e^g$	群体层$g$中时空弧段$e$的弧段流量
${V_l},{D_l},{A_l}$	列车$l$的途径停站的站序集，出发时间集，到达时间集	$l\left( e \right)$	时空弧段$e$对应的列车
$v_i^l,d_i^l,a_i^l$	列车$l$第$i$个停站及其出发和到达时间

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2.1   出行需求离散化

假设OD（Origin - Destination）对集合为$RS$，全天运营时间为$\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]$，每个OD对$\left( {r,\;s} \right) \in RS$的出行需求具有时变波动特征，其出行需求总量为${q_{rs}}$。为便于后续建模，将全天出行时段划分为$T$个时段，各时段出行需求量为$q_{rst}， t=1,\; 2,\; \cdots,\; T,\; 且\left(r,\; s\right)\in RS$，满足$\sum\limits_{t = 1}^T {{q_{rst}}} = {q_{rs}},\left( {r,\;s} \right) \in RS$。将旅客按照出行偏好划分为多个群体，出行群体集合为$G$，对于每个出行群体$g \in G$，各时段出行需求为$q_{rst}^g$，满足$\sum\limits_{g \in G} {\sum\limits_{t = 1}^T {q_{rst}^g} } = {q_{rs}},\left( {r,\;s} \right) \in RS$。

2.2   出行网络构造

给定铁路网物理车站集合$V$和开行列车集合$L{\text{ = }}\left\{ {l = \left( {{V_l},{D_l},{A_l}} \right)} \right\}$，其中，对于列车$l$，其开行径路中的第$i$个停站为$v_i^l$，出发时间表示为$d_i^l$，到达时间为$a_i^l$，则其站序表示为${V_l} = \left( {v_1^l,v_2^l, \cdots ,v_{h\left( l \right)}^l} \right)$，出发时间序列${D_l} = \left( {d_1^l,d_2^l, \cdots ,d_{h\left( l \right)}^l} \right)$，到达时间序列${A_l} = \left( {a_1^l,a_2^l, \cdots , a_{h\left( l \right)}^l} \right)$，h( l )为列车的途径车站数。

2.2.1   出行网络

基于时变需求、开行列车集和出行群体异质性，构造“时间—空间—群体”三维出行网络$\Im = \left( {W,E,G} \right)$ ，如图1所示。

图  1  “时间—空间—群体”出行网络示意图

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（1）$W$表示时空节点集合，包括各群体层所有列车在其停靠车站的到达时空节点、出发时空节点和意愿出行节点，即

其中，$D_l^g,\;A_l^g$分别为${D_l},\;{A_l}$在各群体层的拓展形式，$y_{rst}^g$为需求$q_{rst}^g$的意愿出行时间。

（2）$E$表示时空弧段集，包括各群体层所有列车的乘车、停靠时空弧段和旅客的出行调整弧段。

在各群体层中 ，对于任一列车，上车弧由某一停站的出发时空节点$d_i^l$指向下一相邻停站的到达时空节点$a_{i + 1}^l$，表示旅客乘车出发或通过，即上车弧集${E_{board}} = \bigcup\limits_{g \in G} {E_{board}^g}$。

停车弧由某一中途停站的到达时空节点$a_i^l$指向该站的出发时空节点$d_i^l$，表示旅客在中途停站，即停车弧集${E_{stop}} = \bigcup\limits_{g \in G} {E_{stop}^g}$。

出行调整弧由各群体在各时段意愿出行节点$y_{rst}^g$指向相应的起点站出发时空节点$d_i^l$（满足$v_i^l = r$），表示调整自己的意愿出行时间选择相应的列车，即出行调整弧集${E_{adjust}} = \bigcup\limits_{g \in G} {E_{adjust}^g}$。

由于各出行群体共用同一运输方案，所以各群体层中列车到达和出发时空节点、上车弧和停车弧是一致的，只是在设计弧段费用时需要基于各群体对各出行环节的敏感性进行相应调整。时空弧段集可表示为$E = {E_{board}}\bigcup {{E_{stop}}} \bigcup {{E_{adjust}}}$。

2.2.2   出行路径

旅客的出行路径包括出行调整、乘车出发、在途乘车和中间停站等环节。对于群体$g \in G$，OD对$\left( {r,\;s} \right)$期望在时段$t = 1,\;2,\; \cdots ,\;T$出行的旅客可选择的出行路径集合为$P_{rst}^g$，共有$n_{rst}^g$条出行路径，每条出行路径$p_{rstk}^g \in P_{rst}^g，\;k = 1,\;2,\; \cdots ,\;n_{rst}^g$，路径流量记为$f_{rstk}^g$。以图2为例，假设将出行需求划分为若干群体，图中所示为第1类群体的时空出行网络，该出行网络运输方案共有4趟列车。列车${l_1}$和${l_4}$ 为由车站${v_1}$开往${v_{\text{5}}}$的站站停列车；列车${l_{\text{2}}}$由车站${v_1}$开往车站${v_{\text{4}}}$，中途在${v_{\text{3}}}$停站；列车${l_{\text{3}}}$由车站${v_1}$开往${v_{\text{5}}}$，仅在${v_{\text{3}}}$停站。对于OD对$\left( {r,\;s} \right) = \left( {{v_1},\;{v_5}} \right)$的出行需求被离散为4个意愿出行时段，由于列车${l_{\text{2}}}$不经过车站${v_{\text{5}}}$，因此该OD旅客可选择列车${l_1},\;{l_3},\;{l_4}$出行，即各出行时段需求均有3条出行路径，已在图2中用不同颜色标出。其中，出行需求$q_{rs1}^1$的第1条出行路径$p_{rs11}^1$（粗线标出）首先通过出行调整弧段进行出发时间调整，然后在车站${v_1}$乘坐列车${l_1}$，沿途停靠车站${v_2},\;{v_3},\;{v_4}$，最终到达车站${v_{\text{5}}}$。

图  2  群体层出行路径示意图

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2.3   出行网络费用设计

旅客出行成本主要包括出行时间调整成本、票价支出成本和在途时间成本。出行调整成本为弧段的调整时间偏差产生的时间价值，由于不同群体对调整时间的敏感度不同，对于不同群体设置单位调整时间成本${\kappa _g}，\;g \in G$；票价支出成本为列车票价率与运行里程的乘积，对于列车$l \in L$，不同群体对其票价率的主观心理价值不同，设为${r_g}\left( l \right)，\;g \in G$；在途时间成本是旅客在途出行花费时间产生的时间价值，由于不同群体对出行时间的敏感度不同，对于不同群体，设置单位时间成本${w_g}，\;g \in G$。对于各群体层$g \in G$，出行网络时空弧段费用设置如下：

（1）出行调整弧段$e_{adjust}^g = \left( {y_{rst}^g,\;d_i^l} \right) \in E_{adjust}^g$，弧段费用为调整时间偏差产生的时间价值，设为$c_{{e_{adjust}}}^g = {\kappa _g}\left| {d_i^l - y_{rst}^g} \right|$；

（2）上车弧段$e_{board}^g = \left( {d_i^l,\;a_{i + 1}^l} \right) \in E_{board}^g$，弧段费用为票价支出和在途时间成本之和，设为$c_{{e_{board}}}^g = {r_g}\left( l \right) \cdot m_i^l + {w_g}\left( {a_{i + 1}^l - d_i^l} \right)$，其中，$m_i^l$ 表示列车 $l$ 第 $i$ 个区段的里程；

（3）停站弧段$e_{stop}^g = \left( {a_i^l,\;d_i^l} \right) \in E_{stop}^g$，弧段费用为停站时间产生的时间价值，设为$c_{{e_{stop}}}^g = {w_g}\left( {d_i^l - a_i^l} \right)$。

3   模型构建

3.1   约束条件

（1） 路径流量与弧段流量的关系

对于群体层$g \in G$，每条出行路径由多条时空弧段组成，每条弧段的流量等于经过该弧段的路径流量之和。

式（1）中，$\delta \left( {p_{rstk}^g,\;{e^g}} \right)$表示路径$p_{rstk}^g$与弧段${e^g}$的关联关系：若路径$p_{rstk}^g$经过弧段${e^g}$，则$\delta \left( {p_{rstk}^g,\;{e^g}} \right){\text{ = 1}}$，否则，$\delta \left( {p_{rstk}^g,\;{e^g}} \right){\text{ = 0}}$。

（2） 列车能力约束

由于不同群体层的列车弧段（上车弧和停站弧）同属同一实际列车弧段，因此，各群体层中的同一上车弧流量等同于流经同一上车弧。由于高铁列车严格限制超员，那么，流经各群体层同一上车弧的流量之和不能超过该上车弧对应列车的定员。

式（2）中，弧段$e$表示时空弧段${e^g}$表示的实际列车上车弧；$l\left( e \right)$表示上车弧$e$对应列车；$cap\left[ {l\left( e \right)} \right]$表示该列车定员。

（3） 流量守恒约束

对于各群体层，各OD在各时段出行路径流量之和应该满足该OD对在该时段的出行需求。

式（3）中，$t = 1,\;2,\; \cdots ,\;T；\; \left( {r,\;s} \right) \in RS；g \in G$。

（4） 决策变量约束

出行网络中所有出行路径流量非负且为整数。

式（4）中，$k = 1,2, \cdots ,n_{rst}^g； t = 1,2, \cdots ,T； \left( {r,s} \right) \in RS；$$g \in G$。

3.2   模型构建

基于上述约束条件构建网络流模型，目标函数为最小化旅客出行总成本，即出行网络所有弧段费用与弧段流量乘积之和最小，求解各群体层出行路径的客流量分布状态，基于求解结果进行各群体旅客出行选择分析。最小费用网络流模型为线性规划模型，可利用线性规划软件求解。

s.t.式（1）～（4）。

通过求解网络流模型，可以获得各群体层各OD对在各时段每条出行路径的流量及各出行路径的占比分布，同时获得每趟列车的客流结构，进而分析各群体各OD对的出行选择和列车运力占用情况。同时，根据列车各弧段的流量情况可以获得各列车客座率分布、计算运营及服务指标，对运力配置进行评价，进而指导运力调整和客运产品设计。

4   算例分析

4.1   参数设置

以京兰（北京—兰州）高铁京呼段（北京北—呼和浩特东）为背景进行算例分析，该线路共有16个车站，30个单向区间，线路总里程459 km，如图3所示。选取上行方向早高峰6：00—9：00时段，共开行6趟列车，列车运行信息如表2所示。

图  3  京兰高铁京呼段路网

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表  2  列车开行信息

车次	开行区段	停靠车站	始发时刻	运行时间	运行里程	定员
D1002	呼和浩特东—清河	呼和浩特东—乌兰察布—兴和北—怀安—张家口—宣化北—八达岭长城—清河	6：55	2 h 53 min	448 km	620
D1004	呼和浩特东—清河	呼和浩特东—乌兰察布—张家口—下花园北—东花园北—八达岭长城—清河	8：08	2 h 43 min	448 km	620
D1008	呼和浩特东—清河	呼和浩特东—乌兰察布—怀安—张家口—下花园北—怀来—清河	8：59	2 h 46 min	448 km	1240
D1024	呼和浩特东—清河	呼和浩特东—乌兰察布—张家口—宣化北—怀来—昌平—清河	6：38	2 h 40 min	448 km	620
G2458	呼和浩特东—北京北	呼和浩特东—兴和北—张家口—清河—北京北	7：17	2 h 30 min	459 km	559
G2460	呼和浩特东—北京北	呼和浩特东—北京北	8：00	2 h 9 min	459 km	1148

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将出行需求划分为两类群体，群体I属于高端商务群体，时间价值较高，对出行调整和旅行时间敏感度较高，对票价敏感度较低；相比之下，群体II时间较为宽裕，消费水平较低，对价格敏感度较高。群体I出行需求共147人，群体II出行需求共3793人。篇幅所限，各群体各OD对出行强度分布从略。

设置实际费用参数如下：旅客单位出行调整时间成本0.4元/min，单位出行时间成本0.5元/min，高铁列车票价率0.55元/km。按照不同群体对出行过程各环节的敏感度对费用参数进行调整：群体I单位出行调整时间成本${\kappa _{\text{1}}}{\text{ = 0}}{\text{.8}}$元/min，单位出行时间成本${w_1} = 1$元/min，对于各列车$l \in L$，列车票价率${r_1}\left( l \right) = 0.45$元/km；群体II单位出行调整时间成本${\kappa _{\text{2}}}{\text{ = 0}}{\text{.3}}$元/min，单位出行时间成本${w_{\text{2}}} = {\text{0}}{\text{.4}}$元/min，对于各列车$l \in L$，列车票价率${r_{\text{2}}}\left( l \right) = 0.{\text{7}}5$元/km。

4.2   结果分析

4.2.1   优化结果

本算例共计意愿出行节点99个、时空出行路径248条，其中，群体I出行层意愿出行节点26个、出行路径78条，群体II出行层意愿出行节点73个、出行路径170条，共计列车区段30个。利用LINGO求解器对算例进行求解，最终求得旅客出行总费用1089843.2元，全部出行需求得到满足，各列车区段满足列车定员约束。

4.2.2   路径流量分布分析

选取部分出行需求，表3列出其出行路径流量分布状态。

表  3  部分出行路径流量分布

出行群体I				出行群体II
OD对	出行时段	乘坐车次		OD对	出行时段	乘坐车次
呼和浩特东—清河	6:00—7:00	D1024		呼和浩特东—清河	6:00—7:00	D1024/G2458
呼和浩特东—清河	7:00—8:00	G2458		呼和浩特东—清河	7:00—8:00	G2458
呼和浩特东—清河	8:00—9:00	D1004		呼和浩特东—清河	8:00—9:00	D1004
呼和浩特东—北京北	7:00—8:00	G2460		呼和浩特东—北京北	7:00—8:00	G2458/G2460
呼和浩特东—北京北	8:00—9:00	G2460		呼和浩特东—北京北	8:00—9:00	G2460

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由表3可知，各群体出行基本都会选择与意愿出行时段相近的车次出行。群体I时间价值较高，会选择出行调整少、旅行时间短的出行方案，如由呼和浩特东至清河6：00—7：00出发的旅客会选择在同时段6：38出发的D1024次列车，由呼和浩特东至北京北7：00—8：00出发的旅客会在同时段出发的G2458次和G2460次列车中，选择旅行时间短的G2460次列车。与群体I相比，群体II时间价值相对较低、价格敏感度较高，在列车定员约束下，群体II 会适当延长出行调整时间，如由呼和浩特东至清河6：00—7：00出发的旅客除乘坐D1024次列车外，还会延迟出发乘坐G2458；由呼和浩特东至北京北7：00—8：00出发的旅客会同时选择G2458次和G2460次列车。因此，客流分配方法准确描述了不同群体的出行选择行为和竞争博弈。

4.2.3   主观出行成本分析

为分析群体主观出行成本的影响，利用实际费用参数优化结果进行对比分析。通过分析可知，基于主观出行成本部分客流发生了转移：群体层I中，由呼和浩特东至北京北7：00—8：00出发的旅客中有24人由G2458转移至G2460，群体层II中，由呼和浩特东至北京北7：00—8：00出发的旅客中有24人由G2460转移至G2458。这是因为基于主观出行成本，群体I更注重时间费用，会更倾向于出行时间短的G2460次列车，而在列车定员约束下，群体II必然会出现反向转移，从而为群体I提供席位。由此说明，不同群体的出行偏好对客流分布和客流转移具有显著影响。

4.2.4   列车客座率对比分析

表4所示为优化后的各列车客座率与实际运营的列车客座率对比。由表4可知，优化结果客流分布较为集中，而实际运营中客流分布较为分散。开行的6趟列车可分为3组：D1002/D1024，D1004/D1008，G2458/G2460，每组列车开行区段相同、开行时刻接近，互为补充。由于本文客流分配方法考虑时变需求，更注重不同群体的出行偏好，在追求出行费用最小化的目标驱动下，使得每组列车中出行费用较小的列车更加吸引客流，客流分布较为集中。该方法能够为列车开行方案调整、进行差异化列车产品设计提供参考。

表  4  列车客座率对比

车次	D1002	D1004	D1008	D1024	G2458	G2460
优化结果	4.87%	77.02%	23.84%	71.5%	50.89%	100%
实际运营	39.1%	43.89%	41.22%	62.65%	81.45%	74.91%

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5   结束语

本文考虑时变需求、各群体对出行过程各环节的敏感度差异，定义各群体主观出行成本，并结合各群体的主观出行偏好来准确刻画旅客的出行选择行为。基于列车运行图、出行需求时空分布和群体异质性，构造“时间—空间—群体”三维出行网络，利用不同时空弧段描述各群体在各时段出行过程中乘车、停站、出行调整等不同出行行为。通过调整不同出行层时空弧段的费用来定量化表示各群体对各出行环节出行成本的敏感度。考虑列车定员约束，以最小化旅客出行总成本为优化目标，构建最小费用网络流模型求解各群体层出行路径的客流分布状态。算例表明，不同群体的出行偏好对客流分布和客流转移具有显著影响，优化后客流分布呈集中化态势。

考虑群体出行偏好的客流分配方法能够很好地描述各群体对不同出行方案的敏感性，刻画各群体旅客间对有限运力资源的竞争博弈过程，求解规模也会随群体数量增加而增长。利用各群体层客流分布可以对列车开行方案、票额席位分配等运力配置进行评价，并基于评价结果对铁路路网配置、运输服务和售票组织的薄弱环节设计调控策略。

后续将融合多群体旅客购票时序和列车席别差异等实际因素，结合旅客换乘、等待等出行行为，进一步完善、细化出行网络和旅客购票竞争过程，并针对不同群体旅客在不同席别间的转移进行客流分配研究。