铁路具有运量大、全天候、快速、节能等优势，是国家重要的基础设施和民生工程。经过六次大提速和高速铁路的不断建设，我国铁路已形成以“八纵八横”高铁线路为骨架的铁路网络。但与经济社会发展需求和国外先进水平相比，我国铁路网仍需不断加强和发展，特别是铁路网密度和人均铁路里程2项指标与发达国家相比仍有不小的差距^[1]。除了不断扩建铁路基础设施外，提高铁路运能经济、高效的手段是优化铁路网络结构和运输组织。特别是在实货制和随到随运的铁路货运新需求下，运输部门需要对货流进行更准确的预测，以便制定更优化的运输方案和计划。

铁路网络是乘客和货物的载体，多种物质和信息在网络节点之间有序流动，网络的结构和功能容易受到外部环境的影响，造成堵塞、故障和安全问题。铁路网络覆盖面积广、运输组织方式多样、服务对象多变、路网演化与外部环境紧密联系，是典型的复杂网络。需要借助复杂网络分析方法和技术，从不同角度认识铁路运输网络的结构特征、演化机理等，为解决铁路网规划、运输组织优化等提供理论依据。

复杂网络研究始于1736年数学家欧拉对哥尼斯堡七桥环游问题^[2]的研究，随着研究的不断深入，许多实际网络的“小世界性”^[3]和“无标度性”^[4] 等拓扑统计性质被发现。这些性质介于规则与随机之间，具有这些性质的网络称为“复杂网络”^[5]。运用复杂网络理论，可以计算网络模型的统计性质（指标），分析统计特性的产生机理，预测网络的动力学行为等。在铁路运输领域，目前针对复杂网络的研究主要集中在基本拓扑性质、脆弱性或者抗毁性、动力学分析和结构优化等方面。本文对这些研究进行总结，并展望今后的研究重点。

1   铁路运输复杂网络模型

铁路运输依据服务对象主要划分为旅客运输和货物运输2种类型，铁路运输复杂网络对应地划分为客运网络和货运网络，此外，还有公铁和空铁联运方式下的复合网络。

1.1   铁路客运复杂网络模型

文献[6]指出：铁路运输网络一般在P、R、L空间中定义，如图1所示。

图  1  P、R、L空间中定义的铁路运输网络示意图

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（1）在P空间（Space P）中：节点定义为车站，如果至少有一个车次停靠两个车站，则这两个车站之间连接一条边。

（2）在R 空间（Space R）中：节点定义为车次，如果两个车次停靠至少同一个车站，则这两个车次之间连接一条边。

（3）在L 空间（Space L）中：节点仍旧定义为车站，如果两个车站在至少一个车次运行中作为相邻的两个站点，则这两个车站之间连接一条边。

在国外研究中，文献[7]在P空间建立印度铁路运输网络，文献[8]对P、R、L空间的中欧铁路网和瑞士铁路网进行研究。国内关于铁路客运复杂网络模型的研究，主要包括地理网、车流网、运输网、换乘网、服务网等，这些网络模型的定义和出处见表1。

表  1  铁路客运复杂网络模型的定义及出处

网络种类	网络描述	空间归属
地理网	以铁路车站或者车站所在城市作为节点，以节点之间的线路连接作为边[9]、[12-15]	不属于P、R、 L空间
车流网	以铁路车站或者车站所在城市作为节点，以同一列车在两个节点停靠作为边[9]、[16]、[11]	P空间
运输网	以铁路车站为节点，同一趟列车路径上的相邻站点之间都存在连线作为边[12]、[17]	L空间
换乘网	以铁路车站为节点，同一趟列车路径上的车站之间都存在连线分别作为边[12]、[17]、[18]	P空间
服务网	在车流网的基础上，将车站间经停的列车数目定义为边的权重[19]	P空间
需求网	以城市作为节点，以城市之间的出行流线为边，以城市的铁路总客运需求量作为节点的权重，以两个城市之间的铁路客运需求量作为边的权重[10]	不属于P、R、 L空间
列流网	以城镇作为节点，以车站的列流量作为节点的权重，以车站之间的列流作为边，以相邻车站间的列流量作为边的权重[10]	不属于P、R、 L空间

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除上述铁路运输网络模型之外，为完整刻画铁路运输系统各组成要素之间的相互作用，有研究提出多层客运网络模型。文献[9]在车流网的基础上，以车站和列车作为网络的节点，将车站与列车、车站与车站之间的相互作用作为网络的边，节点之间相互作用的大小作为边的权重，将铁路旅客运输系统抽象成加权铁路客运二分网络。文献[10]以区域城际铁路客运需求作为上层网络、列流网络作为下层网络，构建局域尺度的双层网络演化模型。文献[11]以线路和车站为节点，线路节点与其所经过的车站之间直接相连，车站节点的权重为单位时间内通过的列车数，线路节点的权重为其所包含车站的权重之和，构建铁路换乘赋权二分网络。

1.2   铁路货运复杂网络模型

文献[20]提出铁路货物运输服务网络的概念，突破了货运物理网络线路属性单一、拓扑结构简单等限制；服务网络中的节点包括车站作业点（站场）和作业时间点，分别描述服务网络的空间和时间属性；根据节点类型的不同，服务网络中弧段划分为运输服务弧段、车站作业弧段和等待弧段3类，分别表示铁路货运车次信息、车站的技术作业状况、节点等待运输作业的时间消耗等；一系列连续的服务弧段构成一条服务路径，用以描述运输作业全过程。

文献[21]和文献[22]建立货运车流网络，是一种业务逻辑网。文献[21]以货运列车经过的车站为节点，有向边表示列车编组去向，建立铁路货运车流网络，节点由编组站、主要截流点、一般技术站和大型装卸作业地点构成，边由远程直达、技术直达、区段和直通去向构成。文献[22]将铁路技术站作为节点，以技术站间的车流交互作为边，即对同一车次进行技术作业的相邻站间存在连线，构建铁路货运车流网络。

铁路货运复杂网络模型的定义和出处见表2。

表  2  铁路货运复杂网络模型的定义及出处

网络种类	网络描述	空间归属
地理网	以铁路技术站作为网络中的节点，以实际铁路线路作为边[21-22]	不属于P、R、L空间
车流网	以铁路技术站作为节点，以同一列车在两个节点停靠作为边[23]	P空间
运输网	以铁路技术站为节点，同一车次中进行技术作业的相邻站间存在连线作为边[21-23]	L空间
服务网	在车流网的基础上，将车站间经停的列车数目定义为边的权重[20]	P空间

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1.3   多制式联运复合复杂网络模型

单一的铁路、公路、航空、水路运输已经不能缓解交通基础设施紧张，难以满足人们出行的多样性、快捷性需求，由此产生空铁、公铁、水铁等联运方式。

文献[16]在铁路客运车流网和P空间的航空网络的基础上，在同一个城市火车站和机场之间增加连边，构建铁路—航空多层网络。文献[11]在P空间定义高铁车流网和航空网，在同属于一个城市的高铁车站和机场之间增加连边，构建高铁—航空复合网络。文献[23]构建2种铁路快捷货运服务网络；即铁路快捷运输网和铁路快捷服务网络，2种快捷网络分别从运输条件和铁路能够提供的运输服务两个方面入手，是为改善货物运输网络的时效性、便捷性和安全性提供的一种研究方法：若在驳接枢纽内公路和铁路之间可以换装，或者存在线路衔接，则公路和铁路快捷服务网之间存在边，即可构建公铁综合快捷货运服务网络。

2   铁路运输复杂网络的拓扑特征分析

铁路运输复杂网络拓扑特性分析的主要手段是：通过对平均距离、效率、度分布、聚集系数、介数、富人集团系数等统计参数的计算，对比分析小世界特性、无标度特性、集团度、脆弱性、抗毁性和异质性等特性。

2.1   铁路复杂网络的基本统计参数

确定网络中是否具备某种性质，涉及距离、度与度分布、聚集系数、介数、富人集团系数等参数的计算^[24]。

（1）平均距离与效率

在不同的铁路运输复杂网络中，节点间的距离可以表示铁路站点之间铁路线路的里程、换乘次数等。网络中任意两节点之间的平均距离$L = \left(\displaystyle\sum\limits_{i \geqslant j} {{d_{ij}}} \right)\Bigg/ (N(N - 1)/2)$^[24]，其中，$N$为网络节点总数，${d_{ij}}$指从任意节点$i$到另一节点$j$最短路径上所有边的总和。

效率表示铁路平均交通的容易程度，定义为两个节点之间距离倒数之和的平均值$E = \left(\displaystyle\sum\limits_{i \geqslant j} {\dfrac{1}{{{d_{ij}}}}} \right)\Bigg/ (N(N - 1)/2{\rm{)}}$。

（2）度与度分布

铁路运输网络中节点的度数可以表示站点的物理重要性和转乘地位等。令${a_{ij}}$表示网络邻接矩阵的矩阵元，节点$i$的度定义为其邻边数，记为${l_i} = \displaystyle\sum\limits_j {{a_{ij}}} = \displaystyle\sum\limits_j {{a_{ji}}}$。

从概率统计的角度看，度分布$P(l)$定义为节点度为$l$的节点在网络所有节点中所占的比例，一般服从离散常数、泊松、幂律等分布。

（3）聚集系数

聚集系数可以描述铁路运输网络中站点之间的聚集程度、联系的紧密程度，记为${C_i} = {S_i}/({k_i}({k_i} - 1)/2)$，其中，${S_i}$表示节点$i$的邻接子图${G_i}$的实际边数，${k_i}$为${G_i}$的节点数，则${G_i}$最多有${k_i}({k_i} - 1)/2$条边。

（4）介数

介数可以反映节点或者边在铁路运输网络中的影响力与地位，对于发现和保护铁路关键站点和线路具有重要意义，按照其表述对象分为节点介数和边介数。节点（边）的介数是一个网络中所有的最短路径经过该节点（边）的数量与所有最短路径数量的比值，即网络中所有最短路径中经过该节点（边）的数量比例。节点$i$的介数${B_i} = \displaystyle\sum\limits_{i,j(j \ne k)} {({n_{jk}}(i)/{n_{jk}})}$。${n_{jk}}$是连接节点$j$和$k$的最短路径的数量，${n_{jk}}(i)$是连接节点$j$和$k$并且经过节点$i$最短路的数量。

（5）富人集团系数

富人集团系数可以刻画铁路运输网络中重要节点之间的紧密联系程度，网络的$k$富人集团系数表示度大于$k$的节点集合中互相邻接的节点比例，用$\phi (k)$表示：

其中，${{R(k)}} = \{ v \in N(G)|{k_v} > k\}$表示度大于$k$的节点集合，$|{{R(k)}}|$表示$k$富人集团集合的数目，$\displaystyle\sum\limits_{i,j \in {{R(k)}}} {{a_{ij}}}$表示这种集合中互相邻接的节点数目的2倍。

2.2   小世界与无标度特性

小世界特性^[24]是指无论网络规模有多大，网络中任意两个节点间都可以找到一条相对较短的路径。具有小世界特性的网络模型称为WS小世界网络模型，小世界网络模型的平均距离与节点总数$N$的关系大致符合ER随机网模型，但就平均集群系数特性而言，它又与节点总数 $N$无关，类似于规则网模型。小世界特性在统计参数上的表现为具有相对较小的平均距离和相对较大的平均聚集系数。无标度特性^[25]表明节点与其邻接节点之间相互作用的异质性，体现了网络增长和偏好依附的“马太效应”，即只有极少数节点具有较大的度，成为中心节点，大部分节点度值很小。具体表现为节点的度分布服从幂率特性，这与规则网的度分布是$\delta $函数、随机网的度分布是泊松不同。无标度特性在统计参数上的表现为度分布满足幂律函数。

文献[9]、文献[19]及文献[23]研究发现：地理网络较为稀疏，且较多起止车站处于铁路网的边缘；因此，地理网是树状网络，平均聚集系数近似为零，平均网络距离较大，不具有小世界特性。但是文献[14]通过拟合双对数坐标系下的度分布曲线得到近似直线，度分布近似符合幂律分布，同时求得全国铁路网聚类系数为0.1305，平均距离为9.305，因而推断2020年的全国铁路规划网具有无标度和小世界特性。

文献[9]、文献[19]及文献[26]研究发现铁路车流网具有较小的平均距离和较大的聚集系数，即乘客或者货物平均只需要较少的换乘即可从源点到达目的地，且几个重要的车站与相邻车站之间联系比较紧密，因而具有小世界特性。文献[9]计算认为铁路车流网的度分布符合幂律函数，因而具有无标度增长特性。文献[11]计算得到与文献[9]的研究结果不同，认为车流网的度分布更符合指数分布特性，表明车流网度分布呈现出弱阶化结构和度值跨度大的特性。

文献[12]经计算推导出乘客在中国铁路网平均需要经过12.49个车站，才可到达目的地；而且平均聚集系数很小，大部分站点的聚集系数为0，可以看出任意3个节点间直接连接的较少，因此运输网不具备小世界特性。文献[28]经统计计算，得到从任意一个站点出发到任意一个其他站点平均需要3.27次转站，具有明显的小世界网络的特征；度分布符合幂律函数，说明铁路运输网络一定程度上具有无标度特性。

文献[12]计算得到换乘网的平均最短路段数为2.15，表明乘客平均乘坐2.15趟列车到达目的地点，而且换乘网中聚集系数为1的节点占比为2/3以上，因而具有小世界特性。文献[18]针对加权换乘网络计算得到：从任意一个站点出发平均转乘2次即可到达任一目标站点，网络的聚集系数为1，总体趋势上节点的度与聚集系数呈现出负相关的特性；度分布符合幂律分布，具有小世界和无标度特性。

文献[11]和文献[16]经计算发现：复合铁路运输网络与其子网络都具有无标度特性和小世界特性；无标度特性表明，复合铁路运输网络与其子网络的规模扩大，会导致强者越强、弱者越弱；而小世界特性表明，在复合铁路运输网络与其子网络中，从一个城市到达另一个城市总能找到一条最短路径，且仅需较少的中转次数。

2.3   集团特性

集团^[24]是指部分节点相较于其它节点更加紧密相连组成的子图。即集团内部节点构成完全子图，集团内部节点与外部节点连接较为稀疏，一个$m$-集团定义为一个包含$m$个节点的完全子图。依据集团内部节点之间以及集团内部与外部节点之间连接的紧密程度或者数量，还可存在派系、丛、群等结构。文献[13]对铁路网络中各车站之间形成的小组团结构进行分析，测算城市之间更容易形成联合体的空间发展格局，通过计算推导出京津冀城际铁路网络存在6-集团度。文献[26]经加权货运车流网的富人集团系数计算后发现：编组站进行编组作业时，要考虑车流对相邻编组站的作业关联性，以及车流量大小的问题，在车流网中是“富人”；富人集团现象表明，编组站之间的联系十分紧密，体现了编组站在铁路网中的核心地位，这一点与实际情况相符。

2.4   脆弱性、抗毁性与鲁棒性

脆弱性^[24]指铁路网络中不同节点或者边受蓄意攻击、发生随机故障后，能够引起网络连通性或效率等性能下降的程度。基于效率的脆弱性定义为：${V_i} = (E - {E_i})/E$，其中，E为网络原始效率，${E_i}$为网络失效之后的网络效率。抗毁性^[27]与脆弱性相反，是指破坏一个网络的困难程度。由于度分布的异质性，导致面对不同的失效模式，表现出不同的抗毁性。面对随机故障，即使多数节点失效、崩溃，整个网络仍然可以保持连通性。但是，当网络中几个重要节点或者边同时遭受蓄意攻击时，网络就变得十分脆弱。因此，如何搜寻和保护铁路网络中比较脆弱的节点和边是非常重要的实际问题。

文献[15]、文献[16]、文献[26]及文献[28]通过模拟网络节点或者边在遭到随机故障和蓄意攻击前后，平均路径长度、最大连通子图大小、网络效率、相对熵、结构熵等属性的相对变化，分析高速铁路网络、空铁复合网络、地理网络、铁路换乘网络等网络的脆弱性、抗毁性和鲁棒性；结果表明：由于铁路网具有小世界特性，即节点的连接具有“马太效应”，我国铁路网在选择性攻击时抗毁性差和比较脆弱，而在随机故障时，其鲁棒性和抗毁性较强；空铁复合网络比单层铁路网的鲁棒性较好。

文献[17]针对上述文献中没有考虑网络的级联失效对网络抗毁性的影响，以遭受级联失效前后网络中最大连通片的剩余节点数与原网络的节点总数之比作为抗毁性测度；通过计算比较，得到铁路网的换乘网抗毁性达到最强且成本值最小时，级联失效模型的构建方法。

文献[14]通过建立基于流行病的SIR（易感人群（S）、染病人群（I）和免疫人群（R））传播理论的晚点传播模型，模拟分析晚点对铁路网造成的影响，对于运力紧张的线路，如果晚点就会导致大面积的列车晚点，但对于运力充足的线路，少量列车的晚点，不会造成大面积列车晚点，由此可得到晚点传播模型的无标度特性动力过程，并通过实例分析证明：我国铁路网具有无标度特性，对随机攻击具有很好的鲁棒性和较强的容错能力，而对蓄意破坏则比较脆弱。

3   铁路运输复杂网络的动力学分析

拓扑特征分析是从统计学角度研究铁路运输复杂网络的宏观表现，关注基本单元之间的位置关系、单元之间的某种联系等。这种描述是“静态”和“平面”的，缺少对相互作用的丰富特性随时间演化机理的研究，更缺乏描述和刻画这些相互作用特征与规律、可预测系统行为的手段^[5]。物理动力学方法旨在从微观角度，极力寻求节点之间相互作用对网络的演化、传播、运动、传输等随时间动态变化规律。

文献[18]和文献[26]使用动力学和热力学的方法，研究交通流量的分布与网络结构的关系，并通过调节网络结构，模拟交通流量在网络中的分布，对有限的铁路资源实行按需分配。文献[18]结合我国铁路网的具体特征，通过随机行走模型模拟表明：在铁路交通网络中站点的流量与其对应的点权成正比，而与站点的度成非线性关系，但未考虑乘客个体状态的复杂变化。文献[26]提出用玻色–爱因斯坦统计模型来模拟铁路客运网络中的客流分布，结果表明：无论初态如何，各车站的客流分布最终会趋于平衡，各车站的平衡客流量与其点权正相关，但未考虑每个车站最大的乘客数限制。

动力学传播理论最初用于流行病的传播、病毒在计算机网络中的传播等。复杂网络动力学传播理论是分析由于网络中局部故障蔓延之后，对整个网络状态影响的一种便利方法，可在网络遭受故障、灾难、失效、攻击时，对其未来状态进行预测和预报。交通网络传播动力学研究主要集中在道路交通中的级联失效、用户均衡配流、道路拥塞传播等问题，已取得较为丰硕的成果，但在铁路运输领域仅有较少的文献，且主要集中于分析列车晚点传播机制。

文献[14]和文献[22]运用复杂网络的传播动力学理论，分析铁路网中列车晚点的传播扩散情况，基于SIR理论，建立全国铁路列车晚点传播网络模型，分析列车晚点的传播机制，并讨论通过制定相应的应急预案来干预晚点的传播，以防止发生大面积晚点的情况；通过模拟计算表明：发生晚点的车站越重要或者数目越多，造成列车晚点的时间越短，越容易引起铁路网的大面积晚点；同时，铁路网对于晚点传播有一定的控制能力。

4   基于复杂网络的铁路运输网规划与运输组织优化

国内针对铁路运输复杂网络理论的具体应用研究，主要是解决铁路运输网规划、运输组织优化2类问题。

在铁路运输网规划方面：文献[12]从铁路基础设施、停靠站点及换乘3个角度构建物理网、运输网和换乘网3种网络模型，运用统计方法分析这3种网络遭受不同攻击时的网络弹性，为铁路运输规划提供参考。文献[16]构建铁路—航空多层网络和铁路网络、航空网络等3种网络，从理论上证明铁路—航空多层网络的鲁棒性比铁路层、航空层网络的鲁棒性强，为我国运输规划中多式联运提供有价值的参考。文献[13]探讨城市群城际铁路车站空间布局规划的优化策略，并以京津冀城市群为例，提出城际铁路车站的整体、车站的局部和车站3个层次的城市群的规划优化措施。文献[15]建立铁路地理网整体优化模型和局部优化模型，提出铁路运输网络优化方案，使其具有更强的容错性。文献[19]通过分析铁路客运网络的可靠性和抗毁能力，提出在高速铁路客运网络设计中，除了考虑高速铁路关键车站选址规划，也要考虑非关键车站所选位置的抗风险能力，以降低自然灾害对关键车站的随机性影响。文献[11]从无标度网络特性和小世界网络特性进行分析，提出多式联运设计应考虑尽量减少复合网络的换乘次数，以提高复合网络的有效性，为协调高铁子网络与航空子网络之间的良性竞争与合作提供了理论依据。

在铁路运输组织方面：文献[18] 基于我国铁路网络的具体特征，分析我国铁路交通网络的客流问题，指出在客流平衡时，各车站的客流量与对应车站权重存在正相关，可为铁路客运运输组织提供参考依据。文献[14]模拟分析因突发事故导致晚点对铁路网造成的影响，为铁路网应急处置以及在突发事件下的铁路运输组织提供参考。文献[19]通过分析高速铁路地理网的连通可靠性，发现关键车站一旦遭受攻击，高速铁路网的整体连通性会迅速受到显著影响，为保证高速铁路正常运营，应对关键车站加强防护。文献[20] 认为目前服务网络设计模型的研究是基于相对固定的企业中期货物运量水平条件下的运输资源配置，未能反映实际运量的波动和变化，而这种波动是影响货物运输服务的可靠性水平和资源配置有效性的重要因素，服务网络的设计应考虑多目标的综合优化，才能为货物运输组织优化提供具有实用价值的参考。

5   结束语

复杂网络是描述和分析铁路运输网络结构、拓扑特征和动力学演化行为的有力工具，国内外也有众多学者对铁路运输复杂网络开展研究，相关研究成果颇为丰硕。在广泛查阅和研读现有研究成果的基础上，从铁路运输复杂网络的模型构建、拓扑特征分析、动力学分析3个方面对这些研究工作进行全面地分析和总结；同时，对铁路运输复杂网络理论及方法在铁路运输规划和运输组织分析与优化2个主要应用方向的研究工作进行梳理和概括。

近年来，受全路货源结构变化影响，货源向区域集中的态势较为明显，货运需求不均衡问题更加突出。虽然中国国家铁路集团有限公司对铁路网运力资源协调配置进行筹划部署，优化了客货列车开行结构，释放普铁繁忙干线，为货运扩能创造更大空间，但是通道瓶颈依然存在，且有逐渐加剧的趋势，制约了运力的进一步提升。为此，围绕铁路运输网及运输组织不断优化的任务，有必要继续深入推进基础理论与方法的研究。展望我国铁路运输复杂网络研究工作，提出如下考虑与建议：

（1）与铁路客运相比，现有文献对铁路货运复杂网络模型的构建方法研究相对较少。随着铁路货运改革的推进，铁路货物运输在我国物流运输领域中的地位越来越重要，有必要结合铁路货运基础设施现状、发展和运输组织的特点，在现有研究成果基础上，从不同层面建立典型的铁路货运逻辑业务复杂网络，并针对每一种铁路货运复杂网络模型，统一定义其相关要素和数据选择标准，以反映铁路地理网络对铁路货运服务水平的影响；在形成共识和统一标准的基础上，不断持续推进研究的深度，提升研究成果的实用性，使相关理论研究更好地服务于铁路货运网络规划和货运组织优化。

（2）现有文献较多地从宏观角度统计分析铁路网的拓扑特征，分析的前提条件较为严苛和理想化，如假设某一个车站或一条线路功能全部失效，但实际中出现这类情况的概率比较小，应该重点考虑车站或者线路通过能力和作业效率下降的程度或者概率，从概率统计方面研究脆弱性、可靠性、抗毁性和容错性等问题。

（3）现有文献较少从微观角度分析铁路网的动力学特性，包括：流量预测、级联失效、晚点传播等。可考虑依据以往车流历史数据，统计分析车流与点权、车流与边权的相关性；依据铁路车流组织特点，建立系统热力学模型，通过对历史数据统计分析，探索外界环境与系统之间的关系，挖掘出外界客源或者货源与系统各节点之间的关系，以及外界客源与货源与系统之间的交换作用关系，实现对未来一段时刻铁路网中车流分布进行预测，并根据车流变化情况，编制各铁路局集团公司的日班计划，组织运输生产。